数学物理方法第十章作业答案

分离变量法(驻波法)求一维有界区域的自由振动问题(第二类齐次边界条件)：

utt(x,t)a2uxx(x,t) (0xl)uxx00 , uxl0ut0(x) , utt0(x)

其中(x)，(x)，为已知函数．

解：依题意设定解问题的解为 u(x,t)X(x)T(t)

其中X(x)只是x的函数，与t无关，T(t)只是t的函数，与x无关．代入方程得

T''(t)X''(x)a2T(t)X(x)

T''(t)X(x)a2X''(x)T(t)等式两边分别是t和x两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为

T''(t)X''(x)2aT(t)X(x)

即

则得到两个常微分方程

T''(t)a2T(t)0 (1)X''(x)X(x)0 (2)

1

由边界条件有X'(0)0 X(l)0 (3)

当0或0方程(2)都只有平凡解u(x,t)0

当0时(2)的解为X(x)C1cosxC2sinx (4) (C1,C2为任意常数)

将(4)代入(3)的第一式得X'(0)C2=0C2=0，而C1不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得

(2n1)(2n1)22l （n1,2,3,）

X(l)C1cosl0cosl0l∴ 只能取相应的一系列值

(2n1)22n4l2 （n1,2,3,）---由定解问题决定的本征值

而

X(x)Xn(x)C1cos(2n1)x2l---由定解问题决定的本征函数

(2n1)22n4l2将代入(1)，解得

'T(t)Tn(t)Ancos(2n1)a(2n1)a'tBnsint''An,Bn2l2l (为任意常数)

2

∴

'un(x,t)Xn(x)Tn(t)[Ancos(2n1)a(2n1)a(2n1)'tBnsint]C1cosx2l2l2l

[Ancos(2n1)a(2n1)a(2n1)tBnsint]cosx2l2l2l

即

u(x,t)un(x,t)[Ancosn1n1(2n1)a(2n1)a(2n1)tBnsint]cosx2l2l2l

而

ut(x,t)[Ann1(2n1)a(2n1)a(2n1)a(2n1)a(2n1)sintBncost]cosx2l2l2l2l2l

任意常数An，Bn的确定

由初始条件有

ut0(x)(x)Ancosn1(2n1)x (0xl)2l

An2l(2n1)()cosd (n1,2,3)l02l

(2n1)a(2n1)Bncosx (0xl)2l2ln1

utt0(x)(2n1)a2l(2n1)Bn()cosd2ll02l

3

l4(2n1)Bn()cosd (n1,2,3)(2n1)a0l

10.3分离变量法(驻波法)求一维有界区域的自由振动问题(第二类齐次边界条件)：

utt(x,t)a2uxx(x,t) (0xl)ux00 , uxxl0ut0(x) , utt0(x)

其中(x)，(x)，为已知函数．

解：依题意设定解问题的解为 u(x,t)X(x)T(t)

其中X(x)只是x的函数，与t无关，T(t)只是t的函数，与x无关．代入方程得

T''(t)X''(x)a2T(t)X(x)

T''(t)X(x)a2X''(x)T(t)等式两边分别是t和x两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为

T''(t)X''(x)a2T(t)X(x)

即

则得到两个常微分方程

4

T''(t)a2T(t)0 (1)X''(x)X(x)0 (2)

由边界条件有X(0)0 X'(l)0 (3)

当0或0方程(2)都只有平凡解u(x,t)0

当0时(2)的解为X(x)C1cosxC2sinx (4) (C1,C2为任意常数)

将(4)代入(3)的第一式得X(0)C1=0，而C2不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得

(2n1)(2n1)22l （n1,2,3,）

X'(l)C2cosl=0cosl0l∴ 只能取相应的一系列值

(2n1)22n4l2 （n1,2,3,）---由定解问题决定的本征值

而

X(x)Xn(x)C2sin(2n1)x2l---由定解问题决定的本征函数

(2n1)22n4l2将代入(1)，解得

5

'T(t)Tn(t)Ancos(2n1)a(2n1)a'tBnsint''An,Bn2l2l (为任意常数)

∴

'un(x,t)Xn(x)Tn(t)[C2Ancos(2n1)a(2n1)a(2n1)'tC2Bnsint]sinx2l2l2l

[Ancos(2n1)a(2n1)a(2n1)tBnsint]sinx2l2l2l

即

u(x,t)un(x,t)[Ancosn1n1(2n1)a(2n1)a(2n1)tBnsint]sinx2l2l2l

而

ut(x,t)[Ann1(2n1)a(2n1)a(2n1)a(2n1)a(2n1)sintBncost]sinx2l2l2l2l2l

任意常数An，Bn的确定

由初始条件有

ut0(x)(x)Ansinn1(2n1)x (0xl)2l

An2l(2n1)()sind (n1,2,3)0l2l

6

utt0(x)(2n1)a(2n1)Bnsinx (0xl)2l2ln1

(2n1)a2l(2n1)Bn()sind02ll2l

l4(2n1)()sind (n1,2,3)0(2n1)a2l

Bn10.3分离变量法(驻波法)求一维有界区域的热传导问题(第一类齐次边界条件)：

ut(x,t)a2uxx(x,t) (0xl)ux00 , uxl0ut0(x)

其中(x)为已知函数．

解：依题意设定解问题的解为 u(x,t)X(x)T(t)

其中X(x)只是x的函数，与t无关，T(t)只是t的函数，与x无关．代入方程得

T'(t)X''(x)a2T(t)X(x)

T'(t)X(x)a2X''(x)T(t)等式两边分别是t和x两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为

7

即

T'(t)X''(x)a2T(t)X(x)

则得到两个常微分方程

T'(t)a2T(t)0 (1)X''(x)X(x)0 (2)

由边界条件有X(0)0 X(l)0 (3)

当0或0方程(2)都只有平凡解u(x,t)0

当0时(2)的解为X(x)C1cosxC2sinx (4) (C1,C2为任意常数)

将(4)代入(3)的第一式得X(0)C1=0，而C2不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得

nl （n1,2,3,）

X(l)C2sinl0sinl0ln∴ 只能取相应的一系列值

n2)l （n1,2,3,）---由定解问题决定的本征值

n( 8

而

X(x)Xn(x)C2sinnxl---由定解问题决定的本征函数

将

n22nl2代入(1)，解得 n22a2T(t)TC'n(t)nel2t (

C'n为任意常数)

22a2un(x,t)X'ntn(x)Tn(t)C2Cnel2sinnlxCn22a2nel2t∴

sinnlx

n22a2l2t即

u(x,t)un(x,t)Cnesinnn1n1lx

任意常数Cn的确定

由初始条件有

unt0(x)(x)Cnsinlx (0xl)n1C2lnnl0()sinld (n1,2,3)

9