(完整版)关于板壳单元的基本理论

板壳结构在工程上应用十分广泛。例如，航天航空工程中的飞机、火箭、宇宙飞船，石油化工业的罐体容器，工程机械起重设备的箱体、臂架结构等。在设计分析中采用板壳单元进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。 1.1.1 板壳结构

板壳结构是指板的厚度t与其它两个方向的尺寸相比小得多。与平面问题的平板不同，板壳结构的板可以是平板也可以是单曲面或双曲面板，同时可以承受任意方向上的载荷，也就是既有作用在平面内的载荷，又作用有垂直于平面的载荷。一般板壳结构处于三维应力状态。结构是否为板壳问题，需要确定厚度与其它方位尺寸的比值，若1/80≤t≤1/10可以归结为板（薄壳）问题，若介于1/10 ~ 1/5之间属于厚壳问题，若大于1/5则不属于板壳结构问题。板壳单元的力学模型取为结构单元的中性面，即以各中性面来代表为不同厚度的板或壳单元的组合体，以此来模拟结构体。在工程有限单元法软件设计中，常常将板壳结构划分成膜、板以及壳单元。其物理特性如下。 膜单元，属于平面应力单元。仅仅能够承受作用于平面内的载荷，不能够承受其它载荷。假设z方向上的位移w=0，每一结点仅存在沿x轴和y轴的位移uvT。膜单元的应力状态如图1-7c所示。

板弯曲单元，仅仅承受弯曲载荷，其受力状态见图1-20a，图中阴影部分为中性面。此类单元只有沿坐标Z方向的位移wxyT，见图1-20b。

壳单元，即可以承受作用于平面内的载荷，又可以承受弯曲载荷，可以看成是膜单元和板弯曲单元的组合，每一结点的位移为uvwxyT，其力学特征见图1-21。其中：

Mx、My为弯曲力矩，Mxy、Myx为扭曲力矩，Qx、Qy为侧向力，Nx、Ny为轴向力，Nxy

为剪力。值得注意的是在分析壳单元的计算结果时，其计算结果对于该单元的顶面，中性面或底面是不同的。如图1-21所示，x,t 、x,m、x,b分别为板壳结构的顶面、中性面及底面应力。

(a) 板弯曲单元受力状态简图 (b) 板弯曲单元位移状态简图

图1-20四结点板弯曲单元示意图

图1-21壳单元单元示意图 图1-22壳单元单元定义示意图

1.1.2 板壳结构假设

传统小变形的板壳理论有如下的假设：

⑴ 板壳厚度t远远小于其他尺寸，例如t <⑵ 垂直于中性面的法线在变形后，仍为直线且垂直于中性面。

⑶ 应力、应变足够小，可忽略二次或高次微分项，仅考虑一次微分项。

⑷ 法向方向上的正向应力与其他方向正向应力相比很小可不计，即z0。 1.1.3 板壳结构有限单元法简介 1.1.3.1 壳单元的位移函数

如上所诉， 壳单元能够承受作用于其平面内的力与弯曲力，表征其具有膜单元与板弯曲单元组合的物理、力学特性，受外力作用后产生x轴、y轴及z轴方向的位移u、v与w，以及对x轴与y轴的旋转角x与y，即每个结点有5个位移分量。以三节点三角形壳单元为例，见图1-23。

对于结点i有 对于结点j有

ie=uiejjvivjvmwixiyi， wjxjyj， wmxmym

T=ueT对于结点m有i=umT

图1-23 三角形壳单元

三个结点i， j， m共有15个自由度的。三节点三角形壳单元的位移函数如下。

ua1a2xa3y (1－88) vbbxby123wc1c2xc3yc4xyc5x2c6y2c7x2yxy2c8x3c9y3w(1－89) xc3c4x2c6yc7x22xy3c9y2yw22ccy2cxc2xyy3cxy24578x(1－88)式为膜单元的位移函数，(1－89)式为板弯曲单元的位移函数。

1.1.3.2 壳单元的应变关系式

三角形壳单元的应变关系式为：

u2w2x2x2xxv2w2 (1－90) yyzy2z2wxyuvy22wyx2xy2xy

由形函数得知，该三角形单元的位移为：

uiviwxiyiujvwNeN1N2N3N4N5N6Nj15wjxjyjumvmwmxmym 将上式代入（1-90）式中，并且整理得：

uiviwixiyi2ujx22zNNvjwy22N3N4N5N615jN1xj22xyyjumvmwmxmym 简化成：

zB

(1－

91)

(1－

92)

22x2其中：BN12y22xyN2N3N4N5N6N15

三角形壳单元的结点位移

euiviwixiyiujvjwjxjyjumvmwmxmymT

1.1.3.3 壳单元的刚度矩阵

薄板材料的应变能为：

U111TdVTDdVTBTDBz2dV （1-93） V2V2V2由最小势能原理得知：

V=U–W

式中 V为弹性体位能，U为弹性体的应变能，W为外载荷所作的功。 根据最小位能原理，即

V，可得知： UW0 0 (1－94)

其中：UBTDBz2dV (1－95)

VW F

简化（1-95）式得：UK

其中：KT2BVDBzdV

F0 对于（1-94）式可写成：K （1-96） 即：FK壳单元的刚度矩阵应该为膜单元和板弯曲单元的集合。详细推导过程读者可以参看

有关资料。