人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析汇报)

几何图形之半角模型 主 题 半角模型 教学内容 教学目标 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 知识结构 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 .

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典型例题精讲 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使AD2，求AG． 【解析】：作GM⊥BD，垂足为M． 由题意可知∠ADG=GDM， 则△ADG≌△MDG． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM． 而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）． 例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，PAPB10，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？ 【解析】：过P作EFAB于F交DC于E． 1 设PFx，则EF10x，BF(10x)． 2 由PBPFBF． 可得：10x 故x6． 2 SABCD16256． 222221(10x)2． 4例3. 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AMEF，•垂足为M，AMAB，则有EFBEDF，为什么？ 【解析】：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可． 理由：连结AE、AF． 由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用， ∴△ABE≌△AME． ∴BE=ME． 同理可得，△ADF≌△AMF． ∴DF=MF． ∴EF=ME+MF=BE+DF． .

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例4．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、且EAF45，试说明EFBEDF。 CD上， 【解析】：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG ∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF﹢∠BAE=45° ∴∠GAB﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45° ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF  例5. 如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使EAF45o，AGEF于G. 求证：AGAB 【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看， 应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢？ 显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了. 【证明】：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB. ∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. ∴ △AEF≌△AEH. 例6.(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC, CD上,AE,BF交于点O,AOF90. 求证：BECF. (2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB, BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90,EF4. 求GH的长. 图2 .

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1.已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上， EF,GH交于点O,FOH90,EF4. 直接写出下列两题的答案： ①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示). 图3 图4 【解析】 (1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°, ∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， 图1 ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． (2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M， N /过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O， 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM， /M ∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NOA=90°, O′ 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN， ∴ GH=EF=4． 图2 (3) ① 8．② 4n． 巩固训练 【双基训练】 1. 如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，•其边长分别为3cm和5cm，则CDE的面积为________cm． 2 .

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(6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且ABF的面积为14平方厘米，BCE的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________． 4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB2BC。分别以 AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN， EC。 求证：FNEC。 5.如图 ，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DEAG于 E，BFAG于 F． （1）求证：△ABF≌△DAE； A D （2）求证：DEEFFB． E F C B G 【纵向应用】 6. 在正方形ABCD中，12． 1求证：OFBE 2 7. 在正方形ABCD中，12．AEDF, BAE21FDG12GHEOCFBDAC.

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求证：OG 1CE 28. 如图13，点E为正方形ABCD对角线BD上一点, EFBC, EGCD 求证：AEFG A E B F 13 9.已知：点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G, GHAD于点H. 一、 求证：AFDE ； AH二、 如果AB2,求GH的长； 三、 求证：CGCD EG BD G C DFC 【练习题答案】 1．6cm． 2．36． 3．42202cm（面积法）． 274.证明：FN=EC。 证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中， AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90° ∵AB=2BC ∴EN=BC ∴△FEN≌△EBC ∴FN=EC。 5.略 6.提示：注意到基本图形中的AE=AF. 一.两次应用内角平分线定理和CE=CF可证 二.过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证. .

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3， 过点O作OH‖BE, OF= OH=1BE 27.提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种 8.提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF, 证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形 9.（1)略（2）4（3）作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG 5 专题 （1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）特征： 边：两组对边分别平行；四条边都相等； 内角：四个角都是90°； 对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。 （3）主要识别方法： 1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。 典例精讲 例1. 已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA15． 求证：PBC是正三角形． 【证明】：如下图做△DGC使与△ADP全等， 可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP, 0 得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=30，从而得出△PBC是正三角形 例2. 如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的D A P C G D E B A P B F C Q .

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外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点． 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半． 【证明】：过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。 可得PQ= EG+FH。 2由△EGA≌△AIC，可得EG=AI， 由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ= 从而得证。 ABAI+BI= ， 22 例4. 如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AEAC，AE与CD相交于F． 求证：CECF． 【证明】：顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 000 由于∠ABG=∠ADE=90+45=135 从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 000 ∠AGB=30，既得∠EAC=30，从而可得∠A EC=75。 000 又∠EFC=∠DFA=45+30=75. 可证：CE=CF。 D A F E B C 例6. 设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，CFPFAP，平分DCE． 求证：PAPF． 【证明】：作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF=XZ2=，可得YZ=XY-X+XZ， YY-X+Z 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。 .

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A D F B P C E 例7. 已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值． 【证明】：顺时针旋转△BPC 60 ，可得△PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。 既得AF=0A D P B C 134+23 +(+1)2 = 2+3= 422(3+1)22 = (3+1) 22 = = 6+2 。 2例8. P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长． 0【证明】顺时针旋转△ABP 90 ，可得如下图： 既得正方形边长L = (2+222)+()2ga = 5+22ga 。 22 .

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A P D B C 【双基训练】 1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则EAB=________． 【纵向应用】 3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E是边AB，BC的中点，AEF90，且EF交正方形的平分线CF于点F． （1）证明：BAEFEC； （2）证明：AGEECF； （3）求AEF的面积． .

分别外角.

【横向拓展】 4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：AMBENB； ⑵ ①当M点在何处时，AMCM的值最小； ②当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长.  E N A D M B C .

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【练习题答案】 1．36 2．【解析】连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M． 设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a 又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC， ∴BO=EM=12BD=a． 22 在Rt△AEM中，AE=2a，EM=2a． 2 ∴∠CAE=30°． 则∠EAB=15°． o3.（1）证明：∵∠AEF=90， oo∴∠FEC+∠AEB=90．在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90， ∴∠BAE=∠FEC； （2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点， ooo∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180－45=135． 又∵CF是∠DCH的平分线， ooo ∠ECF=90+45=135． 在△AGE和△ECF中， AGEC,oAGEECF135, GAEFEC ∴△AGE≌△ECF； （3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF． o又∵∠AEF=90， ∴△AEF是等腰直角三角形． .

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由AB=a，BE=∴S△AEF=15a，知AE=a， 2252a． 8A D 4.【解析】：⑴∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中， 222∵EF＋FC＝EC， ∴（3x22）＋（x＋x）＝22F E N M B C x3x，EF＝. 2231. 2解得，x＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2. .

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