矩阵练习题

1.若A，B为同阶方阵，则(AB)(AB)AB的充分必要条件是 . 2. 若n阶方阵A，B，C满足ABCI,I为n阶单位矩阵，则C122＝ .

0B1n3. 设A，B都是阶可逆矩阵，若CA0, 则C＝ . 4. 设A＝211，则＝ . A11111123， B124.则A2B . 1115. 设A10016.设A020，则A＝

0031 -1 32 0TT7．设矩阵A,B，A为A的转置，则AB= .

2 0 10 11208. A312，B为秩等于2的三阶方阵，则AB的秩等于 . 011二、判断题

kkk1. 设A、B均为n阶方阵，则 (AB)AB（k为正整数）.……………（ ）

2. 设A,B,C为n阶方阵，若ABCI，则C1B1A1.……………………………（ ）

3. 设A、B为n阶方阵，若AB不可逆，则A,B都不可逆.……………………… ( ) 4. 设A、B为n阶方阵，且AB0，其中A0，则B0.……………………… ( ) 5. 设A、B、C都是n阶矩阵，且ABI,CAI，则BC.……………………（ ） 6. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且ABAC，则B也是n阶对角矩阵.…（ ） 7. 两个矩阵A与B，如果秩（A）等于秩（B），那么A与B等价. …………（ ） 8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵A的秩相等. ……………………………………( )

T三、选择题

1.设A为3×4矩阵，若矩阵A的秩为2，则矩阵3A的秩等于（ B ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 已知A、B为n阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）

(A) ABBA (B) (AB)CA(BC) (C) (AB)CACBC (D) C(AB)CACB 3. 设PAQI，其中P、Q、A都是n阶方阵，则（ ） （A）A1TP1Q1 （B）A1Q1P1 （C）A1PQ （D）A1QP

4. 设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即ABBA，那么A必定是（ ）

（A）可逆矩阵 （B）数量矩阵 （C）单位矩阵 （D）反对称矩阵 5. 两个n阶初等矩阵的乘积为（ ）

（A）初等矩阵 （B）单位矩阵 （C）可逆矩阵 （D）不可逆矩阵 6. 有矩阵A32，B23，C33，下列哪一个运算不可行（ ）

（A）AC （B）BC （C）ABC （D）ABC 7. 设A与B为矩阵且ACCB，C为mn的矩阵，则A与B分别是什么矩阵( )

(A) nmmn (B) mnnm (C) nnmm (D) mmnn

8. 设A为n阶可逆矩阵，则下列不正确的是 ( )

(A) A可逆 (B) IA可逆 (C) 2A可逆 (D) A可逆 9.A,B均n阶为方阵，下面等式成立的是 （ ） （A） ABBA （B）(AB)AB （C） (AB)1TTT12A1B1 （D）(AB)1A1B1

10. 设A,B都是n阶矩阵，且AB0，则下列一定成立的是（ ）

（A） A0或B0 （B）A,B都不可逆 （C）A,B中至少有一个不可逆 （D）AB0

11. 设A,B是两个n阶可逆方阵，则AB（A）ATT1等于（ ）

1T1B1TT1 (B) BTAT

（C）B1(A1)T （D）B1AT112. 若A,B都是n阶方阵，且A,B都可逆，则下述错误的是（ ）

（A）AB也可逆 （B）AB也可逆 （C）B1也可逆 （D）A1B1也可逆 13. A,B为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是 （ ）

（A）AB （B）AB （C）BA （D）BAB 14．设A,B均为n阶方阵，下列情况下能推出A是单位矩阵的是 （ ）

（A）ABB （B）ABBA （C）AAI （D）A1I 15. 若A与B均为n阶非零矩阵，且AB0，则（ ）

（A）R(A)n （B）R(A)n （C）R(A)0 （D）R(B)0

四、解答题：

111123T11. 给定矩阵A213，B221，求BA及A

4343431011132. 求解矩阵方程110X432

125011111111，B110

23. 求解矩阵方程XAB，其中A021102110101001434. 求解下面矩阵方程中的矩阵X：100X001201

0010101204235. 设矩阵A110，求矩阵B，使其满足矩阵方程ABA2B.

123五、证明题

1. 若A是反对称阵，证明A2是对称阵.

2.设矩阵A,B及AB都可逆，证明A1B1也可逆.

3.已知A,B为n阶方阵，且AA,BB,(AB)AB， 证明：ABBA0

4. A是反对称矩阵，B是对称矩阵, 证明:AB是反对称矩阵的充要条件是ABBA.

222