一种三自由度机械臂的设计与分析

第４６卷第９期

ＭＡＣＨＩＮＥＴＯＯＬ＆ＨＹＤＲＡＵＬＩＣＳ

机床与液压

Ｖｏｌ􀆰４６Ｎｏ􀆰９

Ｍａｙ２０１８

ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ􀆰ｉｓｓｎ􀆰１００１－３８８１􀆰２０１８􀆰０９􀆰０２１

一种三自由度机械臂的设计与分析

杨帆，吴贺利，罗晨晖

（武汉科技大学城市学院机电学部，湖北武汉４３００８３）

摘要：设计了一种通用型三自由度机械臂，该机械臂的３个转动自由度相互垂直。详细设计了各关节的传动方案，并建立了系统的三维模型。根据机械臂的结构特点，建立了机械臂的Ｄ－Ｈ坐标系，对其进行正运动学分析。最后利用蒙特卡洛法对该机械臂的工作空间进行分析，得到机械臂末段执行器的工作空间，仿真结果与机械臂的设计参数相符，为该机械臂的优化设计及逆运动学分析奠定了基础。

关键词：机械臂；Ｄ－Ｈ坐标系；蒙特卡洛法；工作空间

中图分类号：ＴＰ２４２　　文献标志码：Ａ　　文章编号：１００１－３８８１（２０１８）０９－０８９－４

ｍｉｓｓｉｏｎｓｃｈｅｍｅｓｏｆｅａｃｈｊｏｉｎｔｗｅｒｅｄｅｔａｉｌｅｄｄｅｓｉｇｎｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓａｎｄｔｈｅｔｈｒｅｅ⁃ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ（３Ｄ）ｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｓｙｓ⁃ｔｅｍｗａｓｂｕｉｌｔ．Ｓｅｃｏｎｄ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ，ｔｈｅＤｅｎａｖｉｔ－Ｈａｒｔｅｎｂｅｒｇ（Ｄ－Ｈ）ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄａｎｄｉｔｓｆｏｒｗａｒｄｋｉｎｅｍａｔｉｃｓａｎａｌｙｓｉｓｗａｓｄｏｎｅ．Ｌａｓｔ，ｔｈｅＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄｗａｓａｐｐｌｉｅｄｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｗｏｒｋ⁃ｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ，ｗｈｉｃｈｗｉｌｌｍａｋｅａｗｅｌｌｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｄｅｓｉｇｎａｎｄｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓａｎａｌｙｓｅｓｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ；Ｄ－Ｈｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ；ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄ；Ｗｏｒｋｓｐａｃｅｓｐａｃｅ，ａｎｄｔｈｅｗｏｒｋｓｐａｃｅｒａｎｇｅｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｅｎｄａｃｔｕａｔｏｒａｃｑｕｉｒｅｄ．Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｉｓｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｗｉｔｈｔｈｅｄｅｓｉｇｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｇｅｎｅｒａｌｒｏｂｏｔｗｉｔｈｔｈｒｅｅｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｓ（ＤＯＦｓ）ｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄａｎｄｔｈｅＤＯＦｓａｒｅｍｕｔｕａｌｖｅｒｔｉｃａｌ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｔｒａｎｓ⁃

ＹＡＮＧＦａｎ，ＷＵＨｅｌｉ，ＬＵＯＣｈｅｎｈｕｉ

（ＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｉｔｙＣｏｌｌｅｇｅ，ＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄ

Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＷｕｈａｎＨｕｂｅｉ４３００８３，Ｃｈｉｎａ）

ＤｅｓｉｇｎａｎｄＡｎａｌｙｓｉｓｏｆａＴｈｒｅｅＤｅｇｒｅｅｏｆＦｒｅｅｄｏｍＭａｎｉｐｕｌａｔｏｒ

０　前言

关节型机械臂是由多个刚性连杆经关节连接而成，其结构与人类手臂类似，一般由腰部、大臂、小臂和手腕组成［１］。其特点是结构紧凑、所占空间体积较小、相对工作区间较大、并且能绕过基座周围的障碍物，是机械人中使用最广泛的一种结构，著名的机械臂生产商ＡＢＢ、ＫＵＫＡ、新松等都有一系列成熟的关节型机械臂［２］。能够实现抓取、放置、喷漆、码垛、焊接等功能，因此，对机械臂的研究具有重要的理论价值和现实意义［３］。

机器人正运动学分析是在已知各关节转角时，求得机械臂末端空间位置的过程，是逆运动学分析的前提。正运动学分析过程一般使用Ｄ－Ｈ法建立机械臂的Ｄ－Ｈ坐标系，利用坐标转换求出机械臂的末端姿态［４］。

工作空间是机械臂末端所能达到的范围，是机械

臂运动灵活程度的重要指标之一，也是机器人是否存在逆解的依据。求解机械臂工作空间常用的方法有图解法、解析法和数值法。蒙特卡洛法是一种基于随机概率的算法，随着计算机技术的发展，蒙特卡洛法在求解及机械臂工作空间时得到了广泛的应用［５］。

本文作者根据实际需要，设计了一种通用型轻负

载三自由度机械臂。对各个关节的传动方案进行详细设计，并建立机械臂系统的样机模型。利用Ｄ－Ｈ法对机械臂进行运动学正分析，得出机械臂末端姿态空间位置，最后采用蒙特卡洛法对机械臂的工作空间进行分析，在Ｍａｔｌａｂ中仿真得出机械臂的理论工作

图１　几种关节型机械臂

空间。

收稿日期：２０１６－１１－０３

作者简介：杨帆（１９７６—），男，硕士，讲师，研究方向为机械设计理论及机械系统动力学。Ｅ－ｍａｉｌ：ｙａｎｇｆａｎ＠ｗｉｃ􀆰ｅｄｕ􀆰ｃｎ。

·９０·

１　机械臂的结构设计１􀆰１　初始参数及初始方案

机床与液压第４６卷

根据实际应用，机械臂的最大负载ｍ为６ｋｇ，

最大伸展距离ｌ为１５００ｍｍ，三轴的转速及转角范围如表１所示。

表１　三轴转速及转角范围

转速／［（°）·ｓ－１第１轴６０］

－范围１８０～／（°）

１８０第２轴９００～１２０第３轴

６０

－１８０～１８０　示　，根据初始参数分别是腰部、大臂和小臂的转动，机械臂３个轴的分布如图。根据设计初始２所参数，预估大臂和小臂的机械结构参数如表２所示。

图２　机器臂的自由度表２　机械臂设计参数长度Ｌ／ｍｍ

质心ｌ／ｍｍ

质量ｍ／ｋｇ

大臂８００５００８小臂

７００

４００

６

１􀆰２　机械臂关节旋转常用的传动方式分为齿轮传动机械臂结构设计

、

同步带传动和链传动，文中选用齿轮传动，３个轴的传动示意图如图３所示。

第１轴采用直齿轮传动，传动比ｉ安装在交叉滚子轴承上。交叉滚子轴承的内滚子与滚１＝２，大齿轮

道的接触属于线接触；在滚道截面呈９０°垂直交叉间隔排列，能同时承载径向载荷和轴向载荷，其刚性是传统型号的３～４倍［６］大齿轮上，随着大齿轮的转动而实现腰部的旋转。因此，将机械臂腰部安装在２轴和第３轴则采用锥齿轮传动。锥齿轮传动相比于。第

直齿轮传动的特点之一是可以改变传动轴之间的方向。在机械臂的本体设计时，为了节省安装空间，将大臂和小臂的驱动电机分别置于大臂和小臂内部，因此，此处采用锥齿轮传动。传动比设计为ｉ设计的机械臂三维模型如图４所示。

２＝ｉ３＝２。图３　机械臂三轴传动设计

图４　机械臂的样机模型

２　２􀆰１　机械臂的运动分析

机械臂的初始状态如图Ｄ－Ｈ坐标系的建立

４所示，机械臂各关节的几何关系一般可通过建立Ｄ－Ｈ坐标系来表示。在对

第９期杨帆等：一种三自由度机械臂的设计与分析

·　９１　·　

ａｘａｙａｚ０

ｐｘùｐｙúｐｚú１úû

机械臂进行运动学分析时，首先需要定义各个关节的坐标系，获取Ｄ－Ｈ参数表［７］。在初始位置下建立Ｄ－Ｈ坐标系，得到该机械臂Ｄ－Ｈ参数表如表３所示，其中，ａ（ｉ－１）是相邻运动副轴线之间的公垂线长度；α（ｉ－１）是相邻运动副轴线之间的夹角；ｄｉ是沿着ｚ轴，两条相邻的公垂线间的距离；θｉ是运动副的两条相邻公垂线之间的夹角。

式中：

ｎé

êｘêｎｙ

４

＝Ｔ０êêｎｚêë０

ｏｘｏｙｏｚ０

úú

ｎｘ＝ｃθ１ｃθ２ｃθ３＋ｓθ１ｓθ３ｎ＝ｓθｃθｃθ－ｃθｓθ图５　建立Ｄ－Ｈ坐标系表３　Ｄ－Ｈ参数表

ｉａθ１（ｉ－１）

α２０（ｉ－１）０

／（°）

Ｌｄｉ

ｉθ／（°）３０

９０００１（０）

４

Ｌ９０００θ２􀆰２　Ｌ１０θ２（９０）３（０）２

０串联机械臂的正运动学分析是在已知各关节转角

运动分析

时Ｄ－，Ｈ求得末端的位置和姿态坐标系可知

。根据２􀆰１节中建立的４

０

Ｔ＝１０Ｔ２３４－Ｈ１Ｔ法２Ｔ，３Ｔ

（１）

由Ｄ可知

ｉ

ｉ－１

Ｔ＝

éê

－ｓθｉ

êê

ｓθｃｃαθｉ

ｉ（ｉ－１）ｃ－ｓα０

ａ（ｉ－１）

ù－ｓαú

êêë

ｓθｉｓα式中：０（ｉ－１）ｃθθｉｃα（ｉ－１）ｃα（ｉ－１）（ｉ－１）ｄｉú

ｉｓαｃθ０

（ｉ－１）

（０

ｉ－１）

ｃα（ｉú

（２）

１－１）ｄｉú

úû

ｓαｉ＝ｃｏｓθｉ，ｓθｉ＝ｓｉｎθｉ，ｃα（ｉ－１）＝ｃｏｓα（ｉ－１），（ｉ－１）当＝３ｓｉｎ个关节由初始位置分别转动α（ｉ－１），ｉ＝１，２，３，４。

θ１代入式（２），得到各个坐标变换矩阵ｉ，θ２，θ３时，

ｉ－１Ｔ，由式（１）可得机械臂末端位置

ｙｎ＝ｓθ１２３１３ｚｏ＝ｓθ２ｃθ３

ｘｏ１ｃθ３－ｃθ１ｃθ２ｓθ３ｙ＝－ｃθｏ１ｃθ３－ｓθ１ｃθ２ｓθ３

ｚ＝－ｓθａｃθ２ｓθ３ｘ＝（３）

ａ１ｓθ２ｙ＝ｓθａ－ｃ１θｓθ２ｚ＝ｐ２

ｘ＝ＬｐＬ１ｃθ１ｃθθ２＋Ｌ２（ｓθ１ｓθ３＋ｃθｓθ１ｃθ２ｃθ３）ｙ＝ｐ＝Ｌ１ｓθ１ｃ２－Ｌ２（ｃθ１ｓθ３－１ｃθ２ｃθ３）ｚ０＋Ｌ１当３个转角已定时ｓθ２＋Ｌ２，ｓθ２可根据式ｃθ３

（３）求得机械臂

末端的位置Ｐ＝［ｐｘ３　机械臂工作空间分析

　ｐｙ　ｐｚ］。

工作空间是在指机械臂的运动中，机械臂末端所能达到的工作点的集合，它是衡量机械臂机械结构性能的重要指标，因此对机械臂进行工作空间分析具有重要意义［８］蒙特卡洛法。

（ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏＭｅｔｈｏｄ）是一种利用

随机抽样来求解机械臂工作空间的常用方法。其基本思想是：机械臂的各关节是在其相应取值范围内工作，在取值范围内，随机遍历所有关节的转角，末端工作点的所有随机值的集合就构成了该机械臂的工作空间［９］基坐标系中的位置向量（１）。其求解步骤如下［１０］由机械臂运动学分析：

，得出机械臂末端在（２）利用随机函数Ｐ＝ｒａｎｄ［ｐｘ（　），ｐｙ　产ｐｚ］。

（θ生随机步长ｉｍａｘ－θｉｍｉｎ机值

）·ｒａｎｄ（），得到机械臂关节变量的伪随θｉ＝（θｉｍａｘ－θｉｍｉｎ式中：θ）·ｒａｎｄ（）

ｉｍａｘ和θｉｍｉｎ为关节变量的上下限；ｉ为关节数目。

入式（３）（１）将中的位置向量（２）中产生的关节变量Ｐ，将求解的θｉ的伪随机值代ｐｘ（４）重复Ｘ步，骤Ｙ，（Ｚ２）中。

，ｐｙ和ｐｚ分别存储于矩阵Ｘ（Ｎ），Ｙ（Ｎ），Ｚ（Ｎ）。重复次数和（３）ＮＮ越大次，，得越能反应

到矩阵

·９２·

机械臂的实际工作区间。

机床与液压

ｃａｌ＆ＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１５，３２（１）：１－１３．大学，２００９．

第４６卷

Ｙ（Ｎ）和Ｚ（Ｎ）用描点的方式显示出来，即可得到机械臂的工作区间。

用上述方法对所设计的机械臂进行工作空间分析，取Ｎ＝１００００，得到该机械臂的工作空间如图５

（５）将步骤（４）中得到的位置向量Ｘ（Ｎ），

［３］佟颖．三自由度机械臂的动态特征研究［Ｄ］．沈阳：东北［４］李亚玮，黄晋英．八自由度机械臂正运动学及工作空间

分析［Ｊ］．机械传动，２０１６，４０（４）：９４－９６．

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［５］何价来，罗金良，宦朋松，等．基于蒙特卡洛法的七自由

度拟人机械臂工作空间分析［Ｊ］．组合机床与自动化加所示。从图中可以看出，该机械臂的工作空间范围是ｘ⊂［－１５００，１５００］，ｙ⊂［－１５００，１５００］，ｚ⊂［２００，１７００］，机械臂的工作空间类似半个椭球。仿真出的工作空间符合各关节实际的工作空间，说明基于蒙特卡罗法的机械臂工作空间分析是正确可靠的。

图６　机械臂工作空间

４　结论

３设计了一种通用三自由度机械臂。该机械臂具有

并建立了系统的三维模型个相互垂直的自由度，对每个关节进行详细设计。

，利用Ｄ－Ｈ法，建立机械臂的正运动学模型，对机械臂的运动学进行分析，得出机械臂末端的位置和

姿态。根据所得的末端位置，利用蒙特卡洛方法，分析了机械臂的工作区间，为机械臂的优化设计与逆运动学求解奠定基础。

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Ｓｏｃｉｅｔｙｆｏｒ（责任编辑：卢文辉）