高三数学模拟试卷及答案

注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分160分.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1.集合A{x|x2k1,kZ}，B{1,2,3,4}，则AB_____. 答案：{1,3}

解：因为2k1,kZ表示为奇数，故AB{1,3}

2.已知复数zabi(a,bR)，且满足iz9i（其中i为虚数单位），则ab____. 答案：-8

解：izaibi2bai，所以a1,b9，所以ab8

3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 答案：7.5 解：

76+147+1584107.5

7141544.函数f(x)(a1)x3(a1,a2)过定点________. 答案： (0,2)

解：由指数函数的性质，可得f(x)(a1)x3过定点(0,2)

5.等差数列{an}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 答案：4

解：设等差数列{an}的公差为d，由题意得: a22a1a6，则(a1+d)2a1(a15d) 整理得d3a1，a2a1d4a1，所以

a2=4 a11

6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____. 答案：

C321解：2=

C42127.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1,AD2，AA11，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是______.

答案：6 31解：S三棱锥AADE211=，SADE23=1113213126 21616 S三棱锥AA1DEh=，解得h=32338.如图所示的流程图中，输出n的值为______. 答案：4

9.圆C:(x1)2(y2)24关于直线y2x1的对称圆的方程为_____. 答案：(x3)2y24

解：C:(x1)2(y2)24的圆心为(1,2)，关于y2x1对称点设为(x,y)则有：

x1y221x322，解得，所以对称后的圆心为(3,0)，故(x3)2y24. y0y21x12

2

10.正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则PMPN的取值范围是______. 答案：[0,1]

x2y211.双曲线C:1的左右顶点为A,B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右

43支上不同于顶点B的任一点，连接PA角圆O于点Q，设直线PB,QB的斜率分别为k1,k2，若k1k2，则_____. 答案：

34

12.对于任意的正数a,b，不等式(2aba2)k4b24ab3a2恒成立，则k的最大值为_____. 答案：22

13.在直角三角形ABC中，点D在线段BC上，且CDCB,BAC45，C为直角，若tanDAB，则BAC的正切值为_____. 答案：3

12133

14.函数f(x)|x21|x2kx9在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是_____.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）

在ABC中，角A,B,C所对的分别为a,b,c，向量m(2a3b,3c)，向量

n(cosB,cosC)，且m∥n.

（1）求角C的大小；

（2）求ysinA+3sin(B)的最大值.

3

4

16. （本小题满分14分）

在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，PAD为锐角三角形，且平面PAD底面ABCD，E为PD的中点，CDDP. （1）求证：OE∥平面PAB； （2）求证：CDPA.

17. （本小题满分14分）

x2y2已知椭圆C:221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，焦距为4，且椭圆过点

ab5(2,)，过点F2且不行与坐标轴的直线l交椭圆与P,Q两点，点Q关于x轴的对称3点为R，直线PR交x轴于点M. （1）求PFQ的周长； 1（2）求PF1M面积的最大值.

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18. （本小题满分16分）

一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示) ,其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元

(1) 求发酵池AD边长的范围;

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(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道(b为常数).问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆古地面积最小.

19.（本小题满分16分）

已知{an}，{bn}均为正项数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且a1，b11，b22，

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122(Tn2Tn21)2Tn1. 当n2，nN*时，Sn112an，bnbn1bn1（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn(bn2)an，求数列{cn}的前n项和Pn.

bn2bn

20.（本小题满分16分）

设函数f(x)lnxax，aR，a0. （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)0有两个零点x1，x2（x1x2）. （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）求证：x1x2随着

x2的增大而增大. x18

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附加题，共40分

21．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换

a b1已知a，bR，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，c d1点P(﹣2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(﹣1，2)，求矩阵A．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

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x4cos已知曲线C1：，（其中为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半

y4sin轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos()23，设曲线

3C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点, ∠AEB＝90°， ∠EAB＝30°，AB＝23，AD＝3．

（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值； （2）求二面角A—DE—C的正弦值．

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23．（本小题满分10分）

对于任意的x＞1，nN，用数学归纳法证明：e

x1xn． n！12

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