1．已知P为半圆C：Error!(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均π为3.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
π
解：(1)由已知，点M的极角为3，
π且点M的极径等于3，
ππ，
故点M的极坐标为33.
()(2)由(1)知点M的直角坐标为6故直线AM的参数方程为Error!(t为参数)．
(π
，
3π
6，A(1,0)．
)2．(2019·贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为Error!(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．
解：(1)由Error!(t为参数)得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9，由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入上式，得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1，C2上时，
5－1
|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，则kC1C2＝4－0＝1，
∴直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，
1
又|AB|＝|C1C2|－1－3
＝4－02＋5－12－4＝42－4，
1
1
2∴S△AOB＝2d|AB|＝2×2×(42－4)＝2－2.
3．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l的参数方程为Error!(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
x2
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0. ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
y2
解：(1)曲线C的直角坐标方程为4＋16＝1.
2∴点O到直线C1C2的距离d＝2＝2，
42cosα＋sinα
又由①得t1＋t2＝－1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
4．(2019·昆明调研测试)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.解：(1)直线l的参数方程为Error!(t为参数)．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，
3
由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，得cos2α>4，
由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cosα，t1·t2＝3，由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，
由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，则(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cosα)2＝5×3，
15
3
解得cos2α＝16，满足cos2α>4，
11所以sin2α＝16，tan2α＝15，
15所以直线l的斜率k＝tanα＝±15.
5．(2019·洛阳市联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为Error!(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
4
曲线C的极坐标方程为ρ2＝1＋sin2θ，且直线l经过曲线C的左焦点F.
(1)求直线l的普通方程；
(2)设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．解：(1)曲线C的极坐标方程为
4
ρ2＝1＋sin2θ，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，
x2
y2
将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得4＋2＝1，
x2y2所以曲线C的直角坐标方程为4＋2＝1，于是c2＝a2－b2＝2，F(－2，0)．
直线l的普通方程为x－y＝m，将F(－2，0)代入直线方程得m＝－2，所以直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
π
(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cosθ，2sinθ)(0<θ<2)，所以椭圆C的内接矩形的周长为L＝2(4cosθ＋22sinθ)＝46sin(θ＋φ)(其中tanφ＝2)，所以椭圆C的内接矩形的周长的最大值为46.
6．(2019·唐山市摸底考试)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同．已知圆C1的极坐标方程为ρ＝4(cosθ＋sinθ)，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足
1
|OQ|＝2|OP|，点Q的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程．
(2)已知直线l的参数方程为Error!(t为参数，0≤φ<π)，l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．
解：(1)设点P，Q的极坐标分别为(ρ0，θ)，(ρ，θ)，则1
1
ρ＝2ρ0＝2·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)，
两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，
C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得(tcosφ＋1)
2＋(tsinφ－1)2＝2，
即t2＋2(cosφ－sinφ)t＝0，t1＝0，t2＝2sinφ－2cosφ，由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ－cosφ＝0，
π
因为0≤φ<π，所以φ＝4.
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