(完整word版)千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第12炼 复合函数零点问题

第12炼 复合函数零点问题

一、基础知识：

1、复合函数定义：设yft，tgx，且函数gx的值域为ft定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为yfgx 2、复合函数函数值计算的步骤：求ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知fx2x,gxx2x，计算gf2 解：f2224 g 412f2g3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知fx2x，gxx22x，若gfx0，求x

解：令tfx，则gt0t2t0解得t0,t2

2当t0fx020，则x

x当t2fx222，则x1

x综上所述：x1

由上例可得，要想求出gfx0的根，则需要先将fx视为整体，先求出fx的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设fx的定义域为D，若存在x0D，使得fx00，则称xx0为

fx的一个零点

5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g在解此类问题时，fx0根的个数，要分为两层来分析，第一层是解关于fx的方程，观察有几个fx的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx的值求出每一个fx被几个x对应，将x的个数汇总后即为

gfx0的根的个数

6、求解复合函数ygfx零点问题的技巧：

第二章 第12炼 复合函数零点问题 函数及其性质

（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出fx,gx的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于fx的方程gfx0中fx解的个数，再根据个数与fx的图像特点，分配每个函数值fix被几个x所对应，从而确定fix的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题

1,x1x1例1：设定义域为R的函数fx ，若关于x的方程1,x122x3______ f2xbfxc0由3个不同的解x1,x2,x3，则x12x2思路：先作出fx的图像如图：观察可发现对于任意的y0，满足y0fx的x的个数分别为2个（y00,y01）和3个（y01），已知有3个解，从而可得fx1必为

f2xbfxc0的根，而另一根为1或者是负数。所以fxi1，可解得：

22x35 x10,x21,x32，所以x12x2答案：5

例2：关于x的方程x1数是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 8

思路：可将x21视为一个整体，即txx21，则方程变为t3t20可解得：

2223x2120的不相同实根的个

2则只需作出txx1的图像，然后统计与t1与t2的交点总数即可，t1或t2，

共有5个 答案：C 例3：已知函数

f(x)|x11||x|，关于x的方程f2(x)af(x)b0xx（a,bR）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是 ．

第二章 第12炼 复合函数零点问题 函数及其性质

思路：所解方程

f2(x)af(x)b0可视为fxafxb0，故考虑作出

22x,x12x,0x1， 则fx的图像fx的图像：fx2x,1x02,x1x如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有

f1x2,0f2x2，所以af1xf2x2,4，

解得4a2 答案：4a2

2x11,0x2例4：已知定义在R上的奇函数，当x0时，fx1，则关于x的方

fx2,x22程6fxfx10的实数根个数为（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程6fxfx10可解，得f1x2211,f2x，只需统计2311y,y与yfx的交点个数即可。由奇

23函数可先做出x0的图像，x2时，

fx12fx2，则x2,4的图像只需将

x0,2的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像

完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B

小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。

例5：若函数fxxaxbxc有极值点x1,x2，且fx1x1，则关于x的方程

323fx2afxb0的不同实根的个数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2第二章 第12炼 复合函数零点问题 函数及其性质

思路：f'x3x22axb由极值点可得：x1,x2为3x2axb0 ①的两根，观察

2到方程①与3fx22afxb0结构完全相同，所

2以可得3fx2afxb0的两根为

f1xx1,f2xx2，其中f1x1x1，若x1x2，

可判断出x1是极大值点，x2是极小值点。且

f2xx2x1fx1，所以yf1x与fx有两

个交点，而f2x与fx有一个交点，共计3个；若

x1x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点。且

f2xx2x1fx1，所以yf1x与fx有两个交点，而f2x与fx有一个

交点，共计3个。综上所述，共有3个交点 答案：A

例6：已知函数fxx24x3，若方程fxbfxc0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（ ）

A. 2,0 B. 2,1 C. 0,1 D. 0,2 思路：考虑通过图像变换作出fx的图像（如图），因为

2fxbfxc0最多只能解出2个fx，若要出七

个

根

，

则

2f1x1,f2x0,1，所以

bf1xf2x1,2，解得：b2,1

答案：B

例7：已知函数fxxex，若关于x的方程f2xmfxm10恰有4个不相等

的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. ,21e12,e B. ,1 C.

e

11,1 D.

e1,e e

第二章 第12炼 复合函数零点问题 函数及其性质

x,x0xe思路：fx，分析fx的图像以便于作图，

x,x0exx0时，f'x1xex，从而fx在0,1单调递增，

在1,单调递减，f11，且当x,y0，所以xe正半轴为水平渐近线；当x0时，f'xx1ex，所以

fx在,0单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于fx的

方程f2xmfxm10中，f1x0,,f2x,，从而将问题转化

1e1e2为根分布问题，设tfx，则tmtm10的两根t10,,t2,，设

1e1eg00m1011，解得m1,1 gtt2mtm1，则有11eg0e2mem10e答案：C

小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例8：已知函数fx正确的是（ ）

A. 当a0时，有4个零点；当a0时，有1个零点 B. 当a0时，有3个零点；当a0时，有2个零点 C. 无论a为何值，均有2个零点 D. 无论a为何值，均有4个零点

思路：所求函数的零点，即方程ffx1的解的个数，先作出fx的图像，直线

ax1,x0，则下列关于函数yffx1的零点个数判断

log2x,x0yax1为过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当a0时，图像

如图所示，先拆外层可得f1x21而f1x有两个对应的x，f2x也0,f2x，

a2

第二章 第12炼 复合函数零点问题 函数及其性质

有两个对应的x，共计4个；当a0时，fx的图像如图所示，先拆外层可得fx且fx答案：A

1，21只有一个满足的x，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确 2

21x1,x0322例9：已知函数fxx3x1,gx，则方程

2x31,x0gfxa0（a为正实数）的实数根最多有___________个

思路：先通过分析fx,gx的性质以便于作图，

fx在

f'x3x26x3xx2，从而

,0,2,f01f,单增，在

0,2单减，且

2，g3x为分段函数，作出每段图像

即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取fx能对应x较多的情况，由fx图像可得，当fx3,1时，每个fx可对应3个x。只需判断gfxa中，

fx能在3,1取得的值的个数即可，观察gx图像

可得，当a1,时，可以有2个fx3,1，从而能够找到6个根，即最多的根的个数 答案：6个

54

第二章 第12炼 复合函数零点问题 函数及其性质

例10：已知函数yfx和ygx在2,2的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程fgx0有且只有6个根 （2）方程gfx0有且只有3个根 （3）方程ffx0有且只有5个根 （4）方程ggx0有且只有4个根

则正确命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总数。

（1）中可得g1x2,1,g2x0,g3x1,2，进而g1x有2个对应的x ，（1）错误； g2x有3个，g3x有2个，总计7个，

（2）中可得f1x2,1,f2x0,1，进而f1x有1个对应的x，f2x有3个，总计4个，（2）错误；

（3）中可得f1x2,1,f2x0,f3x1,2，进而f1x有1个对应的x ，（3）正确； f2x有3个，f3x有1个，总计5个，

（4）中可得：g1x2,1,g2x0,1，进而g1x有2个对应的x ，g2x有2个，共计4个，（4）正确 则综上所述，正确的命题共有2个 答案：B