新人教版九年级数学知识点归纳总结

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第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax+bx+c=0时，应满足（a≠0）

2

2

21.2 降次——解一元二次方程

1．一元二次方程的解法

2(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如xa(a≥0)，

2(xa)2ba)2bab，(b≥0)类的一元二次方程．xa，则xa；(x，xxab．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为x2a或

(xa)2b的形式，也可以用此法解．

(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式

的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab＝0的条件是a＝0或b＝0，使方程x(x－3)＝0的条件是x＝0或x－3＝0．x的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x－3)＝0有两个根，而不是一个根．

(3)配方法：任何一个形如xbx的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方

66x6x72222，x6x7x6x70程．如解时，可把方程化为，

22223)2，从而得解． 即(x注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．

(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

bxc0(3)公式法：一元二次方程ax(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确

22bb24acx24ac02a定的．在b的前提下，．用公式法解一元二次方程的一般

步骤：

bxc0①先把方程化为一般形式，即ax(a≠0)的形式；

②正确地确定方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号)；

24ac0③计算b时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；

④将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根．

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说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实

22b4acac的值来确定．因此数根；③没有实数根．而根的情况，由b4叫做一

bxc0元二次方程ax的根的判别式．

△>0方程有两个不相等的实数根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根．

2判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用

bxc0定理：如果方程ax(a≠0)的两个根是x1，x2，那么

2bcxx，xx1212aa．

xb，xxc1212当a＝1时，x． 应用：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数． 4．一元二次方程的应用 (1)面积问题； (2)数字问题；

(3)平均增长率问题． 步骤：

①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； ③找出相等关系，并用它列出方程；

④解方程求出题中未知数的值；

⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答． 这里关键性的步骤是②和③．

注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．

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第二十二章 二次函数

22.1二次函数及其图像

二次函数概念

一般地，把形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边

自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线，顶点坐标

，交点式为

x轴的交点坐标是

和

。

（仅限于与x轴有交点和的抛物线），与

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。

二次函数公式大全

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax²;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)²;+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b²;)/4a x1,x2=(-b±√b²;-4ac)/2a III.二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象， 可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。 IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b²;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

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3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²;+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax²;+bx+c=0

此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 例1，二次函数

配方为

的形式，则

()

用函数观点看一元二次方程

2yaxbxc1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数

xbxc0的值是0，因此xx0就是方程a的一个根。

2 2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十三章 旋转

23.1 图形的旋转

1. 图形的旋转

（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

图形的旋转

本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。

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二、知识要点

1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2、旋转性质

① 旋转后的图形与原图形全等 ② 对应线段与O形成的角叫做旋转角 ③ 各旋转角都相等

3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。

4、平移性质

① 平移后的图形与原图形全等

② 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） ③ 各组对应线段平行且相等

5、中心对称与中心对称图形

① 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

② 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。 6、轴对称与轴对称图形

(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。

注：轴对称的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分

（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。

7、点的对称变换

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（1）、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）

（2）、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）

（3）、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y） （４）、关于直线y＝x对称

两个点关于直线y＝x对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（y，x）

（5）、两个点关于直线y＝-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x）

注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。

第二十四章 圆

24.1 圆

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

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圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 周长计算公式

1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\\π 4、圆周长的一半:1\\2周长(曲线) 5、半圆的长：1\\2周长+直径 面积计算公式：

1、已知半径：S=πr平方 2、已知直径：S=π（d\\2）平方 3、已知周长：S=π(c\\2π)平方

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

1. 点和圆的位置关系

① 点在圆内点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3. 外接圆和外心

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 4. 直线和圆的位置关系

相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。 5. 直线和圆位置关系的性质和判定

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么

① 直线l和⊙O相交dr；② 直线l和⊙O相切dr；③ 直线l和⊙O相离dr。 圆和圆 定义：

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。

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两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。

两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。 原理：

圆心距和半径的数量关系：

两圆外离＜＝＞ d＞R+r 两圆外切＜＝＞ d=R+r

两圆相交＜＝＞ R-r＝r) 两圆内切＜＝＞ d=R-r(R>r) 两圆内含＜＝＞ dr)

24.3 正多边形和圆 一、本章知识框架

二、本章重点

1．圆的定义：

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

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圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

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(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等． 8．直线和圆的位置关系：

设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R． (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d的半径为R、r(R>r)，圆心距

．

没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离

d>R＋r．

的每一个点都在

外部

内含

(2)d没有公共点，且

有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切

d＝R＋r．

的每个点都在

内部

(4)有唯一公共点，除这个点外，内切

d＝R－r．

相交

(5)有两个公共点R－r10．两圆的性质：

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点． 11．圆中有关计算： 圆的面积公式：

，周长C＝2πR．

圆心角为n°、半径为R的弧长．

圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

．

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为积为2πRl，全面积为

．

，侧面

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为

，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有

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．

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注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 （2）扇形与弓形的联系与区别

圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么

这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2

，圆锥的侧面积，圆锥的全面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积

知识小结： 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 --完整版学习资料分享----

，圆柱的全面积

-----WORD格式--可编辑--专业资料----- 图形 由一个直角三角形旋转得到图形的形成过程 图形的组成 侧面展开图的特征 面积计算方法 第二十五章 概率初步 的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。 一个底面和一个侧面 扇形 由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。 两个底面和一个侧面 矩形 25.1 随机事件与概率

1．随机试验与样本空间

具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； ·

(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．

试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用e表示，

e}． e称为样本空间中的样本点，记作{ 2．随机事件

在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作) 看作特殊的随机事件． 3．频率与概率的定义 (1) 频率的定义

设随机事件A在n次重复试验中发生了

nA次，则比值nA／n称为随机事件A发生的频率，

记作

fn(A)，即

fn(A)nAn.

(2) 概率的统计定义

在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率

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fn(A)在一个稳定的值p(0(3) 古典概率的定义

具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： (i) 试验的样本空间是个有限集，不妨记作

{e,e,,e}12n;

1,2,,n (ii) 在每次试验中，每个样本点ei(i）出现的概率相同，即

P({e})P({e})P({e})12n．

在古典概型中，规定事件A的概率为

nA中所含样本点的个数AP()A中所含样本点的个数n．

(4) 几何概率的定义

如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为

A的长度（或面积、体积）P(A)样本空间的的长度（或面积、体积）·

25.2 用列举法求概率

1、当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法．

2、列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法．但有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目.

3、利用列表法或树形图法求概率的关键是：①注意各种情况出现的可能性务必相同；②

某一事件发生的次数其中某一事件发生的概率；③在考查各种情况出现的次数和某一事件发

各种情况出现的次数生的次数时不能重复也不能遗漏；

4、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率。

25.3 用频率估计概率

在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。事件发生的频率与概率既有区别又有联系：事件发生的频率不一定相同，是个变数，

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而事件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。

在具体操作过程中，大家往往发现：虽然多次试验结果的频率逐渐稳定于概率，但可能无论做多少次试验，两者之间存在着一定的偏差。应该注意：这种偏差的存在是经常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影响，通过试验得到的估计结果往往不太理想，甚至有可能出现极端情况，此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的解释。对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。

在实际应用中，当试验次数越大时，出现极端情况的可能性就越小。因此，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。

第二十六章 反比例函数

26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如yk（k为常数，k0）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面x来理解：

⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数值的取值范围是y0； ⑶比例系数k0是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①yk（k0）， x1②ykx（k0）， ③xyk（定值）（k0）；

⑸函数ykk（k0）与x（k0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，xxyk，就不是反比例函数了，x也是y的反比例函数。

（k为常数，k0）是反比例函数的一部分，当k=0时，y由于反比例函数yk（k0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出xk的值，从而确定反比例函数的表达式。

26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数yk（k0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以x求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

26.3知识点3反比例函数的图像及画法

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反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x0，函数值y0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

反比例函数 yk0 k（k0） xk0 k的 符号 图像 ①①x的取值范围是x0，y的取值范围是x的取值范围是x0，y的取值范围是y0 性质 ②当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 y0 ②当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当k0时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如y三象限，则可知k0。 ☆反比例函数yk在第一、第xk（k0）中比例系数k的绝对值k的几何意义。 x如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，

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则k xyxyPFPES矩形OEPF☆ 反比例函数y线ykk（k0）中，k越大，双曲线y越远离坐标原点；k越小，双曲xxk越靠近坐标原点。 x☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x

和直线y=－x。

第二十七章 相似

27．1 图形的相似

概述

如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：∽） 判定

如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 相似比

相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。 性质

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。 相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27．2 相似三角形

判定

1.两个三角形的两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例

4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

例题

∵∠A=∠A'; ∠B=∠B'

∴△ABC∽△A'B'C' 性质

1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

27．3 位似

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如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

性质

位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 位似多边形的对应边平行或共线。 位似可以将一个图形放大或缩小。

位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

注意

1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

2、两个位似图形的位似中心只有一个；

3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

第二十八章 锐角三角函数

28．1 锐角三角函数

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边；

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,

28．2 解直角三角形

勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。

直角三角形的特征

A ⑴直角三角形两个锐角互余；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

D ⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：

B C 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；

A ⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．

锐角三角函数的定义：

c 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

b --完整版学习资料分享----

C a B

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∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c, 则sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab,cotA=ba

特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况） 1．

30°

解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°） ⑴三边之间的关系：a2+b2=c2．

⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA=,cosA=． tanA=, ⑷解直角三角形中常见类型：

①已知一边一锐角．②已知两边．③解直角三角形的应用．

引用源。 45° 2)2 60° 3)2 2)2 12 1 3 1 3)3 sin 12错误!未找到cos 3)2 tan 3)3 cot 3 第二十九章 投影与视图

29．1 投影

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).

由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。

物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

29．2 三视图

三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状，

还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

主视、俯视 长对正 物体的投影

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主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等 在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

画法：根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个 形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。

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