北师大版数学高二-选修1教案 椭圆的简单性质

第二章 圆锥曲线与方程 第二课时2.1.2 椭圆的简单性质

教学目标：

1.了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；

2.掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

重点、难点：理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念； 掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题.

能力目标

（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．

教学过程： 一、复习引入：

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

x2y2y2x22．标准方程：221，221 （ab0）

abab3．问题：

（1）椭圆曲线的几何意义是什么？

（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的x,y取值范围是什么？其图形位置是怎样的？

（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？

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（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？a,b,c的几何意义各是什么？

（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？

（6）画椭圆草图的方法是怎样的？

二、讲解新课：

x2y2由椭圆方程221(ab0)

ab研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)

(1)范围:

yP′A1B2PF2A2xF1QOx2y2从标准方程得出21,21,即

abB1P″有axa,byb，可知椭圆落在xa,yb组成的矩形中．

(2)对称性:

把方程中的x换成x方程不变，图象关于y轴对称．y换成y方程不变，图象关于x轴对称．把x,y同时换成x,y方程也不变，图象关于原点对称．

如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称

原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

x2y2在椭圆221的方程里，令y0得xa，因此椭圆和x轴有两个交点

abx2y2A(a,0),A2(a,0)，它们是椭圆221的顶点

ab令x0，得yb，因此椭圆和y轴有两个交B(0,b),B2(0,b)，它们也是椭

x2y2圆221的顶点因此椭圆共有四个顶点： A(a,0),A2(a,0)， abB(0,b),B2(0,b)

加两焦点F1(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点.

A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.

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至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．

(4)离心率:

如图发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同 这种扁平性质由什么来决定呢？

离心率:概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式：ecbe1()2 aa范围：0e1

考察椭圆形状与e的关系：

ye0,c0，椭圆变圆，直至成为极限位置

圆，此时也可认为圆为椭圆在e0时的特例

B2A1Oe1,ca,椭圆变扁，直至成为极限位置线

段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e1时的特例

A2B1x三、讲解范例：

例1 求椭圆16x25y400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．

解：把已知方程化成标准方程

22x2y215242

所以，a5,b4,c52423，

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因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a10,2b8，离心率e个焦点分别为F1(3,0),F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A(5,0),A2(5,0)，

c3，两a5B(0,4),B2(0,4)

将已知方程变形为y4425x2，根据y25x2，在0x5的范围55内算出几个点的坐标(x,y)：

x 0 4 y41 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4 5 0 y 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆： -5O-45x

例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：

x2y21（1）

2516答：简图如下：

y4x2y21 （2）

259

3-5O-3-45x

例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：

x2y21（1）94答：简图如下：

y2x2y21 （2）

4936y

6-3O-223x-7O-67x

例4 求椭圆16x25y400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

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分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．

扩展：已知椭圆mx25y25mm0的离心率为e10，求m的值． 5解法剖析：依题意，m0,m5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦

点在x轴上，即0m5时，有a5,bm,c5m，∴5m525，得

m3；②当焦点在y轴上，即m5时，有am,b5,cm5，∴m5m1025． m53例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BCF1F2，F1B2.8cm，F1F24.5cm．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

x2y2解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为221，算出a,b,c的

ab值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

例6如图，设Mx,y与定点F4,0的距离和它到直线l：x数

25的距离的比是常44，求点M的轨迹方程． 5高中数学

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分析：若设点Mx,y，则MFx42y2，到直线l：x25的距离4dx25，则容易得点M的轨迹方程． 4引申：（用《几何画板》探究）若点Mx,y与定点Fc,0的距离和它到定直线l：

a2cx的距离比是常数eac0，则点M的轨迹方程是椭圆．其中定点Fc,0caa2是焦点，定直线l：x相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点Fc,0，相应

ca2于F的准线l：x．

c

四、课堂练习：

1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率 解：由题意，(ac):(ac)=3:2,即

1e3,解得 e526 1e2x2y22．如图，求椭圆221,(ab0)内接正方形ABCD的面积

ab解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐

yAa2b22标相等，故设B（t,t),代入椭圆方程求得t2,

ab24a2b2即正方形ABCD面积为2

ab2

B2EOBFA1DA2xB1C五、课堂小结 ：

1.这节课学习了用方程讨论曲线几何性质思想方法；

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2学习论曲线几何性质：

y2x2①范围：由椭圆的标准方程可得，2120，进一步得：axa，同理可

ba得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ec叫做椭圆的离心率（0e1），a当e1时，ca，，b0当e0时，c0，ba； 椭圆图形越扁椭圆越接近于圆3.学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法

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