高中三角函数单元教学设计

面三角形的长度、角度、面积以及它们之间的关

认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数

系.直到17世纪，三角仍是常量数学的主要内

的图像及性质、诱导公式等恒等变换，从而理解 容.随着微积分和解析几何的创立和发展，变量 三角函数在一个周期上的周期性、单调性、最大 数学逐步占据了核心地位，三角函数的模型作

值、最小值、图像与x轴的交点等性质.用显得越来越突出.1.2.2数学建模在高考中三角函数内容是以一大一小的题

《课标》将三角函数作为刻画现实世界的数

型出现，分值共18分.学好三角函数，完成高考 学模型.首先提供丰富的实际背景，通过概括、

对三角知识考查要求的基本技能的培养显得尤

抽象和分析，建立相应的三角函数模型，其次运 为重要.用数学的思想方法研究三角函数模型，最后利 1单元教学要素的分析用三角函数模型去更好地解释实际问题.这种

1.1数学视角的分析处理体现了数学知识的发生、发展过程，有助于 初中阶段讲授的三角是静态的，主要讨论 学生理解数学的本质.直角三角形的边角关系；高中阶段三角函数是

1.2.3 信息技术的运用动态的，主要是对一般的三角函数的研究.高中

《课标》要求鼓励学生使用计算器和计算机 三角函数的学习是对初中三角的深化，它从函

解决问题，信息技术的使用，可以把学生从繁琐

数的角度研究三角函数的图像、基本性质，甚至 复杂的技巧性运算中解脱出来.如借助计算器

研究它的连续性、可导性等性质.而三角变换则

求三角函数值和实际测量问题；画函数y =

是只变其形不变其质.变换大体上可分为两类： Asin（axr+卩）的图像，分析参数变化对函数的 第一类是三角函数本身所蕴涵的恒等关系.第 影响.对于“恒等变换”这一章《课标》主要强调 二类是三角函数运算中的恒等关系.三角恒等

了以下几点：变换是解决数学问题的重要手段，也是高考中

（1） 《课标》中对三角恒等变形的定位主要 常考查的内容.是两个方面：一是从基本公式出发推导出其他

1.2课标视角的分析公式，体会演绎推理的作用以及三角恒等关系 三角函数是重要的数学模型.《普通高中数

的逻辑体系；二是对学生进行恒等变换的实战

学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）突出了 训练.三角函数的实际背景与应用，对这一内容的学

（2） 加强知识之间的联系，强调用向量的数 习将让学生认识到三角函数在解决实际问题中 量积来推导两角差的余弦公式.的广泛应用，培养数学应用意识.（3） 对于两角和与差公式，二倍角公式要求 对于“三角函数”这一章《课标》主要强调了 能从两角差的余弦公式中导出，并运用其推导 以下几点：半角、积化和差、和差化积公式作为三角恒等变

收稿日期:2019-03-30第38卷第4期 2019年7月数学教学研究29形的基本内容.质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的 问题中的作用.从余弦公式出发推导两角和与

1.3教材比较视角的分析在《课标》框架下，目前出现了“一标多版”:

差的公式，二倍角公式的这个过程有助于学生 体会数与形的内在联系.人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、华东 师大版、湘教版等多种版本教材，这些教材对三

2. 1. 2具体要求角函数的编写不尽相同.我省使用的人教A版 在研究完3个三角函数的图像与性质之后继续 研究y=Asin(3z+卩)的图像与性质，并以此

(1) 任意角、弧度.了解任意角的概念和弧

度制，能进行弧度与角度的互化.(2) 三角函数.① 借助单位圆理解任意角三角函数的定

为模型研究三角函数的简单应用；而苏教版的 三角函数安排独具特色，首先是以生活中的实

义.② 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导

例引入了周期现象，在研究这类现象中又引出 了三角函数，接下来不论是角度的扩充、弧度的 引入、三角函数的定义、三角函数图像及性质的 研究、诱导公式的得出，都充分发挥了单位圆的

公式，并画三角函数的图像.③ 借助图像理解正弦函数、余弦函数在［0,TT 2己,正切函数在(-j, j)上的性质(如单调

TT直观作用.而就人教版而言，A,B两版也有区 别，B版是在研究完3个三角函数的图像与性 质之后转入如何利用三角函数图像解决已知三 角函数值求角问题，而将模型的建立放到了课

性、最大值和最小值、图像与坐标轴的交点等).④ 理解同角三角函数的基本关系式.⑤ 借助计算机画出y=Asin(3z+卩)的图 像，观察3个参数对函数图像变化的影响.后阅读，并未纳入课堂教学之中.1.4教学方法视角的分析建构主义理论认为，学习应该是学生积极 主动地建构知识的过程，利用学生已有的认知

⑥ 能用三角函数解决简单的实际问题，体 会三角函数是描述周期变化的函数模型.(3) 三角恒等变换.① 用向量的数量积推导出两角差的余弦公 式的过程，体会向量方法的作用.结构和经验，通过教师的引导，自觉主动地构建 新的知识，这样的学习才是有效的.因此，在“三 角函数”教学中，我们应该尊重学生的主体地

② 能用两角差的余弦公式推导出两角和与 差公式，倍半角公式，体会其内在联系.位，在学生已有的锐角三角函数的认知结构下，

③ 运用公式进行简单的恒等变形(包括推 导出积化和差、和差化积、半角公式).先对角的概念进行推广并引入弧度制，在此基 础上对任意角三角函数进行定义，并对其内在

2.2过程与方法的本质进行研究.其次，对三角函数的基本性质 (函数三要素、图像、单调性、奇偶性、周期性)进 行较为深入的研究.而三角恒等变换则是先由 实际问题出发利用向量的数量积推导得出两角 差的余弦公式，再借助它推导出两角剩余的所

(1) 通过对三角函数概念、图像及性质的学

习，体会三角函数可以描述一些简单的周期变 化规律并能解决简单的实际问题.(2) 通过研究三角函数线及三角函数图像、

性质，体会到利用单位圆简单、方便，更好地体

有公式.会数形结合思想在学习三角函数中的重要性.2教学目标的分析2. 1知识与技能

(3) 在方程思想、换元等方法的指导下，引

导学生对公式中的角，以及三角函数名的差异， 使学生更好的把握三角恒等变换的特点.2.1.1总体要求三角函数是基本初等函数，在本模块教学 中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性

2.3情感、态度与价值观(1)提岀与三角函数有关的实际问题，围绕

30数学教学研究第38卷第4期 2019年7月这些问题展开讨论，激发学生的求知欲.化简和三角证明的有效工具.（2）从概念出发，用联系的观点提出问题获 （2） 7解三角函数的图像及性质，会运用图

得研究思路，这是数学研究中的常用思想；与圆 像和性质解决相关的三角函数问题.的几何性质建立联系，从中获得解决三角函数

（3） 能将实际问题转化成相应的三角模型，

的问题的重要思想方法.使实际问题得到合理的解决.3学情分析（4） 7解两角和与差的正弦、余弦和正切公

对于必修模块的学习，绝大部分学校是采 式,并在此基础上推导得出倍角、半角、降需、升

用顺序的方法进行教学的.本模块的教学对象

需、积化和差、和差化积、万能公式等公式，还要 是高一的学生，学生已经积累了丰富的知识和

求能准确解答三角函数与复数、不等式、数列等 经验，具备了一定的抽象思维能力和推理的能 综合问题.力.但是三角函数的内容相对繁杂，灵活多变， 6课时数的分配计划技巧性强.故教师在教学时应多注重引导、启

“三角函数”教学时间约需16课时，具体分

发，尽量数形结合.配如下（仅供参考）：4重点难点分析1.1任意角和弧度制约2课时；4.1 “三角函数”的重难点分析1.2任意角的三角函数约3课时；本章的重点是利用三角函数的图像研究其

1.3三角函数的诱导公式约2课时；几何性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值 1.4三角函数的图像与性质约4课时；等）•为了更好地刻画这些性质，首先将角推广

1. 5函数y=Asin（cor+卩）的图像约2课 到任意角，并在弧度制下，建立角与实数的一一 时；对应关系，接着利用诱导公式将任意角转到第 1.6三角函数模型的简单应用约2课时； 一象限角.通过三角函数线，得到正弦函数、余 小结与复习约1课时.弦函数及正切函数的图像.并研究3个参量A ,

“三角恒等变换”教学时间约8课时，具体 3 ,（p对y = Asin （cor +卩）的图像的影响，最后 分配如下（仅供参考）：从实际问题中抽象出三角模型，并对实际问题 3. 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

的意义的适当的数学解释.难点是角的推广及 约4课时；弧度制的引入；三角函数线表示及意义；图像变

3. 2简单的三角恒等变换约3课时； 换与函数解析式变换的内在联系.小结与回顾约1课时.4.2 “三角恒等变换”重难点分析参考文献本章的重点是引导学生通过独立探索和讨

[1] 人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程

论交流，导出两角和与差的三角函数的公式，并 教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科

以公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半

45数学4（必修A版）[M].兰州：读者甘肃教材

角公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思 出版中心,2007:2.路和方法.难点是运用数学的思想方法指导变

[2]

中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程

换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过 标准（实验）[S].北京：人民教育出版社,2003:5.[3] 屢运章.数学应用问题解决认知心理的实证研究

程的能力.ED1桂林：广西师范大学,2000:4.5学习任务分析[4] 王璐.知识理解的概念图教学策略研究[D].成

（DT解弧度制及角的推广；了解任意角三

都：四川师范大学,2016.角函数的定义及单位圆表示的三角函数线；三 [5] 涂荣豹.数学解题的有意义学习[J].数学教育学

角函数的基本关系式和诱导公式，它们是三角

报,2002（2）:11-12.