极坐标与参数方程

知识运用1 平面直角坐标系中的伸缩变换 xx0类型一 根据变换:求出变化前或后的点或曲线方程 yy0x′＝3x，

【例1】〔1〕．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：

2y′＝y.

1点A,2经过φ变换所得的点A′的坐标．

3

求

〔2〕〔2015秋•南关区校级月考〕曲线x2+y2=1经过φ：

的新曲线的方程为 ．

变换后，得到

〔3〕〔2015秋•花垣县校级期中〕曲线C经过伸缩变换方程为：x2+y2=1，则曲线C的方程为〔 〕

后，对应曲线的

A． B． C． D．4x2+9y2=1

【解题思路提醒】记住区分

1、点：变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y) 2、曲线：变换前x、y的曲线与变换后x，y的曲线，

3.最后结果要用 x、y写出答案，题目一般变换后也是用x、y表示，但是在解题过程

书写需要写成x，y

【变式实践1】

1．〔2015春•浮山县校级期中〕曲线x2+y2=1经过伸缩变换后，变成

1

曲线方程是〔 〕

A．25x2+9y2=1 B．9x2+25y2=1 C．25x+9y=1 D．+=1

2．〔2014春•泰山区校级期末〕在平面直角坐标系中，曲线C：x2﹣y2=36经过

伸缩变换后，所得曲线的焦点坐标为〔 〕

A．〔0，±〕 B．〔±，0〕 C．〔0，±〕 D．〔±，0〕

类型二 根据变化前后的方程求出变化φ 【例2】．1.在同一直角坐标系中，求满足以下图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1．

【解题思路提醒】

求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求其变换

方法一：将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得到伸缩变换式；

方法二：直接将一个曲线方程变形，配凑成另一个方程的形式，然后比较对应项

得出伸缩变换．〔一般有一边变成一样的，另外一边相同项相等，例2〕

【变式实践2】

2

1.〔2015春•大庆校级期中〕可以将椭圆〔 〕

+=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换为

A． B． C． D．

2．将圆x＋y＝1变换为椭圆X＝ax

Y＝by

知识运用2 22

x29

＋

y24

＝1的一个伸缩变换公式为φ：

a>0，b>0，

求a，b的值．

将点的极坐标与直角坐标的互换 【例3】 将以下点的极坐标与直角坐标进行互化． 14

〔1〕将点M的极坐标4，π化成直角坐标；

3

〔2〕将点N的直角坐标(4，－43)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．

【解题方法提醒】

1.将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程=====直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsin 2.将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x＝

3

yρcosθ，y＝ρsinθ以及ρ＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)，

x3.当给出点的直接坐标时，已经告诉此点在第几现象了，从而判断出θ的值。 【变式实践3】

将以下点的极坐标与直角坐标进行互化，并判断在第几现象 (1)(2，

知识运用3 【例4】

〔1〕〔2015春•会宁县校级期中〕化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为

〔2〕化直线极坐标方程θ＝

π

(ρ∈R)为直角坐标方程 3

将直线的极坐标与直角坐标的互换 4π2

)； (2)(2，π) (3)(－2,23)； (4)(6，－2 33

〔3〕将直线x-y-1=0化成极坐标方程 【变式实践4】

1．〔2014春•三亚校级期末〕将曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为〔 〕

A．y+2x﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x2+2y2﹣1=0 D．2y2+x2﹣1=0

2.直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan0=2，求出直线的直角坐标方程。

4

3.直线l：ρsin

θ－π24＝2，求直线的直角坐标方程。

知识运用4 将曲线的极坐标与直角坐标的互换 【例5】将下面曲线的极坐标方程与直角坐标方程进行互换 〔1〕y2＝4x; 〔2〕ρ2cos2θ＝4; 〔3〕ρ＝

1

2－cosθ．

【变式实践5】

圆O的极坐标方程：ρ＝cos θ＋sin θ，写出圆的直角坐标方程 2、在极坐标系中，曲线的极坐标方程ρ=2，写出曲线的直角坐标方程 3.已知圆C的圆心C〔，〕，半径r=．求圆C的极坐标方程；

5

知识运用5 【例6】

【点到线的距离】〔1〕〔2015•顺义区二模〕在极坐标系中，直线l的方程为

，则点

A．

B．

C．

到直线l的距离为〔 〕 D．

〕

点、直线、圆的综合运用 【点到圆心的距离】〔2〕．〔2015•安徽一模〕在极坐标系中，点〔2，﹣到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为〔 〕

A．2 B． C． D．

【直线与圆的弦长】〔3〕．〔2015•石景山区一模〕在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为〔 〕 A．

B．2

C．2

D．3

【直线与圆的位置关系】〔4〕．(2015·陕西师大附中调研，15C)在已知极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，则实数a＝________.

【圆与圆相交弦】〔5〕 (2015·湖南长沙一模，12)在极坐标系中，已知两圆C1：

ρ＝2cos θ和C2：ρ＝2sin θ，则过两圆圆心的直线的极坐标方程是________． 【解题知识提醒】

1、两点间距离公式：P1P2x2x12y2y12

2、点到直线距离公式：点〔(x0,y0) 直线要化成一般式：Ax+By+C=0

6

dAx0By0CAB22

3、直线与圆的位置关系，一般采用几何法解答：即圆心到直线的距离d跟半径r比较当d>r,直线与圆相离；当d=r,直线与圆相切；当d【变式实践6】

π

1．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点2，到直线ρ(cos θ＋3sin

3

θ)＝6的距离．

2．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π

(ρ∈R)距离的最大值． 3

3．(2015·广东广州二模，14)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－

π

)与直线3

ρsin(θ＋)＝1的两个交点之间的距离为________

π6

4．〔2015春•延庆县期末〕在极坐标方程中，与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程是〔 〕

7

A．ρsinθ=2 B．ρcosθ=2 C．ρcosθ=4 D．ρcosθ=﹣4 【强化练习】

〔1，π〕，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是( )A．ρ=1

B．ρ=cosθ C．

11cos D．cos

2.〔新疆兵团农二师华山中学〕在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为〔 〕.

A．cos2 B．sin2 C．4sin() D．4sin()

333.点P(1,3)，则它的极坐标是( )

A．(2,)

3

B．(2,4) 3C．(2,)

3D．(2,4) 34.在极坐标系中，点(2，3)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( )

429 C. A．2 B．429 D．3 =和直线sin1的位置关系〔 〕

A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 重合

6.在极坐标系中，定点A〔2，0〕，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，

当线段AB最短时，点B的极坐标为_____________ 。

2CC2cossin和cos1，127.在极坐标系中，曲线和的方程分别为以极

点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线

8

C1和C2交点的直角坐标为_____________ 。

8.假设曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________________． 9.〔2016•白山二模〕在极坐标中，直线l的方程为ρ〔3cosθ﹣4sinθ〕=2，曲线C的方程为ρ=m〔m＞0〕．

〔1〕求直线l与极轴的交点到极点的距离；

〔2〕假设曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．

10.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已

知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=

9

．

〔Ⅰ〕写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；

〔Ⅱ〕设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．

11.已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线点是它的一个焦点，又点〔1〕求椭圆E的方程； 〔2〕假设斜率为

直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最

在该椭圆上．

的焦

大值时，求直线l的方程．

10

22xy1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲12. 将圆

线C.

〔1〕写出C的参数方程；

1,P2，〔2〕设直线l:2xy20与C的交点为P以坐标原点为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，求过线段

P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

11

13、在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

y2系，已知曲线C的方程为x1，直线l的极坐标方程为

422cossin20。

〔I〕写出C的参数方程和直线l的直角坐标方程；

〔II〕设l与C的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程。

第二讲 参数方程与普通方程简单互换

知识运用一 参数方程与普通方程互换 x2例1 (1)求曲线C:y12t2(t为参数)的普通方程． 2t2 12

1xtt〔2〕．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通

1y3tt方程．

x＝1＋cos θ，

(3)(2015·西安质检)假设直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)

y＝－2＋sin θ相切，求实数m的值．

x＝1－sin 2θ，

(4)化为普通方程．

y＝sin θ＋cos θ.【变式实践1】

1．〔2016春•保定校级月考〕已知直线l的参数方程为〔t为参数〕，

则其直角坐标方程为〔 〕 A．

x+y+2﹣

y+2﹣

=0 B．=0

D．x+

x﹣y+2﹣y+2﹣

=0 =0

C．x﹣

2．〔2016春•邯郸校级月考〕与参数方程为通方程为〔 〕

〔t为参数〕等价的普

A．x+

2

=1 B．x+

2

=1〔0≤x≤1〕

C．x2+=1〔0≤y≤2〕 D．x2+=1〔0≤x≤1，0≤y≤2〕

3、将参数方程〔θ为参数〕化为普通方程为〔 〕

13

A．y=x﹣2 B．y=x﹣2〔0≤y≤1〕 C．y=x+2〔﹣2≤x≤﹣1〕 D．y=x+2

4．〔2015春•邢台校级月考〕参数方程通方程为〔 〕

A．y2﹣x2=1 B．x2﹣y2=1 C．

D．

为参数〕的普

5．〔2014春•七里河区校级期末〕已知曲线的参数方程为为参数〕，则曲线的普通方程为〔 〕 A．x2=y+1〔﹣C．x2=1﹣y〔﹣

知识运用二 直线与圆的综合运用 ≤x≤≤x≤

〕

B．x2=y+1〔﹣1≤x≤1〕

〔θ

〕 D．x2=1﹣y〔﹣1≤x≤1〕

【例2】〔1〕．〔2014•蓟县校级一模〕圆，〔θ为参数〕的圆

心到直线，〔t为参数〕的距离是〔 〕

A．1 B． C． D．3

（2）．〔2015•海淀区模拟〕假设直线

，

〔θ为参数〕相切，则b=〔 〕 A．﹣4或6

，〔t为参数〕与圆

B．﹣6或4 C．﹣1或9 D．﹣9或1

14

〔3〕〔2015•黄山三模〕假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l参数方程为

〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被曲线C

截得的弦长为〔 〕 A．【变式实践2】

1．〔2015•安徽三模〕直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为

〔t为参数〕，则圆C截直线l所得的弦长为〔 〕

B．

C．

D．

A．1 B． C．2 D．2

2．直线22

〔t为参数〕被圆〔x﹣3〕+〔y+1〕=25所截得的弦长为〔 〕

A．

B．40

C． D．

3．〔2014•赣州二模〕直线〔t为参数〕被曲线

所截的弦长为〔 〕A． B． C． D．

4(2015秋•辽源校级期末〕设直线l：〔t为参数〕，曲线C1：

〔θ为参数〕，直线l与曲线C1交于A，B两点，则|AB|=〔 〕 A．2

B．1

C． D．

15

5．〔2016•岳阳校级一模〕已知曲线C的参数方程为〔α为参

数〕，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系． 〔1〕求曲线c的极坐标方程

〔2〕假设直线l的极坐标方程为ρ〔sinθ+cosθ〕=1，求直线l被曲线c截得的弦长．

6．〔2016•大庆一模〕在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

〔t为参数〕．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．

〔I〕求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； 〔II〕设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．

16

x＝3＋tcos α，

7、设直线l的参数方程为

y＝4＋tsin αx＝1＋2cos θ，

的参数方程为

y＝－1＋2sin θ

(t为参数，α为倾斜角)，圆C

(θ为参数)．

(1)假设直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；

(2)假设直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．

x＝cos α，

8.．(2016·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线C的参数方程是

y＝m＋sin α5

x＝1＋5t，

为参数)，直线l的参数方程为

25

y＝4＋t5

(α

(t为参数)，

17

(1)求曲线C与直线l的普通方程；

45

(2)假设直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．

5

知识运用三 直线参数几何方程的意义 利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 x＝x0＋tcos α，

经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为

y＝y0＋tsin α

(t为参数)．假设A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t0＝

t1＋t2

2

；

(2)|PM|＝|t0|＝

t1＋t2

2

；

(3)|AB|＝|t2－t1|； (4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

18

[提醒] 直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|. 【例3】.(2015·东北三校联考)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程x＝1＋4cos θπ为(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为. 3y＝2＋4sin θ(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

【解题方法提醒】

1. 将直线的参数方程代入曲线普通方程就可以整理出来关于t的一元二次方程

at2btc0

19

bc2t1t2，t1t2，(t1t2)2(t1t2）-4t1t2

aa【例4】．(2015·河北唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为

ρ＝2(cos θ＋sin θ)． (1)求C的直角坐标方程；

1x＝t，2

(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求

3

y＝1＋t2的值．

【解题方法提醒】

一：具备以下特征可以考虑用直线参数方程的几何意义

1. 三点：一定点两交点，交点必须是定点所在直线跟一曲线两个交点 2. 一直一曲：适用于一直线一曲线 3. 求值：三点间的距离之间的值

4. 为1：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时

二：一定点到两动点距离之和〔例如例题的|EA|＋|EB|〕t1t2t1t2或c的正负决t1t2t1t2是由关于t的一元二次方程at2btc0的系数a、定的，当a、c同号时t1t2t1t2，当当a、c异号时t1t2t1t2。 【变式实践3】

1、(2015·哈师大附中模拟)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cos θ

y＝2＋4sin θ

(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为

π. 3

20

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

2.已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长度

和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．

3．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l：2x＝－2＋t，2



2

y＝－4＋t2

(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2)假设|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

21

【强化练习】

1．〔2016•永州二模〕在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是

1x1t2〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，y3t2曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．

〔1〕把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；

〔2〕已知点P〔1，0〕，直线l与曲线C交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．

22

2．〔2016•锦州一模〕已知直线1的参数方程为〔t为参数〕，以坐

标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．

〔1〕求圆C的直角坐标方程；

〔2〕设圆C与直线l交于点A、B，假设点P的坐标为〔3，

3．〔2016•太原校级模拟〕【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为〔t为参数〕，假设以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=

．

〕，求|PA|+|PB|

〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； 〔2〕假设直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

23

4．〔2016•鹰潭一模〕已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是

〔t是参数〕

〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； 〔2〕假设直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=的值．

，求直线的倾斜角α

24

5.．〔2016•湖南模拟〕在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为〔标方程为ρcos〔θ﹣

〕=a，且点A在直线l上．

，

〕，直线l的极坐

〔1〕求a的值及直线l的直角坐标方程； 〔2〕假设圆C的参数方程为的位置关系．

6．〔2016•平果县模拟〕圆C的极坐标方程为

，极坐

〔α为参数〕，试判断直线l与圆C

标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单

位相同，直线l的参数方程为〔t为参数〕．

〔1〕求C的直角坐标方程及圆心的极坐标 〔2〕l与C交于A，B两点，求|AB|

25

7.．〔2016•大庆一模〕在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

〔t为参数〕．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．

〔I〕求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； 〔II〕设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．

26

8．〔2016•广州模拟〕在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：为参数〕与曲线C2：

〔θ为参数，a＞0〕．

〔t

〔Ⅰ〕假设曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值； 〔Ⅱ〕当a=3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．

9．〔2016•重庆校级模拟〕已知曲线C的参数方程为：〔θ为参

数〕，直线l的参数方程为：与曲线C交于A，B两点．

〔t为参数〕，点P〔2，1〕，直线l

〔1〕写出曲线C和直线l在直角坐标系下的标准方程； 〔2〕求|PA|•|PB|的值．

27

110、(2016·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P,1，

2π

倾斜角α＝.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为

6π

极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρ＝22cosθ－ .

4

(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

28