用因式分解法解一元二次方程
【教学目标】
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；
2．会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；
3．通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
【教学重难点】
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
2．会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程。
【教学过程】
（一）复习回顾
1．用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式。
2．用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3．选择合适的方法解下列方程：
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（1）x2-6x=7
（2）3x2+8x-3=0
（二）情景引入，探究新知。
1．师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？
生：（齐答）行。
师：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。
附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程：
x2=3x
∴x2-3x=0
∵a=1，b=-3，c=0
∴b2-4ac=9
∴x1=0，x2=3
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∴这个数是0或3。
学生B：设这个数为x，根据题意，可列方程：
x2=3x
∴x2-3x=0
x2-3x+(3/2)2=(3/2)2
(x-3/2)2=9/4
∴x-3/2=3/2或x-3/2=-3/2
∴x1=3，x2=0
∴这个数是0或3。
学生C：设这个数为x，根据题意，可列方程：
x2=3x
∴x2-3x=0
即x(x-3)=0
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∴x=0或x-3=0
∴x1=0，x2=3
∴这个数是0或3。
学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程：
x2=3x
两边同时约去x，得：
∴x=3
∴这个数是3。
2．师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题？你认为那种方法更合适？为什么？
说明：
小组内交流，中心发言人回答，及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。
超越小组：
我们认为D小组的做法不正确，因为要两边同时约去x，必须确保x不等于0，但题目中没有说明。
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虽然我们组没有人用C同学的做法，但我们一致认为C同学的做法最好，这样做简单又准确。
学生E：补充一点，刚才讲x须确保不等于0，而此题恰好x=0，所以不能约去，否则丢根。
师：这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒！（及时评价鼓励，激发学生的学习热情。）
3．师：现在请C同学为大家说说他的想法好不好？
生：（齐答）好。
学生C：x(x-3)=0所以x1=0或x2=3。因为我想3×0=0，0×(-3)=0，0×0=0反过来，如果ab=0，那么a=0或b=0，所以a与b至少有一个等于0。
4．师：好，这时我们可这样表示：
如果a×b=0，那么a=0或b=0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。
所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中间应写上“或”字。
我们再来看C同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即：
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用因式分解法
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来解一元二次方程。
说明：
如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。
（三）例题解析
1．解下列方程：
（1）5x2=4x（仿照引例学生自行解决）
（2）x-2=x(x-2)（师生共同解决）
（3）(x+1)2-25=0（师生共同解决）
学生G：解方程（1）时，先把它化为一般形式，然后再因式分解求解。
解：（1）原方程可变形为：
5x2-4x=0
∴x(5x-4)=0
∴x=0或5x-4=0
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∴x1=0，x2=4/5
学生H：解方程（2）时因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以我把(x-2)看作整体，然后移项，再因式分解求解。
解：（2）原方程可变形为：
(x-2)-x(x-2)=0
∴(x-2)(x-2)=0
∴x-2=0或1-x=0
∴x1=2，x2=1
学生K：老师，解方程（2）时能否将原方程展开后再求解。
师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。
学生M：方程(x+1)2-25=0的右边是0，左边(x+1)2-25可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可因式分解。
解：（3）原方程可变形为：
[(x+1)+5][(x+1)-5]=0
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∴(x+6)(x-4)=0
∴x+6=0或x-4=0
∴x1=-6，x2=4
师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。
2．问题：
（1）用这种方法解一元二次方程的思路是什么？步骤是什么？（小组合作交流）
（2）对于以上三道题你是否还有其他方法来解？（课下交流完成）
（四）巩固练习
1．解下列方程：
（1）(x+2)(x-4)=0
（2）x2-4=0
（3）4x(2x+1)=3(2x+1)
2．一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？
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（五）拓展与延伸
师：想不想，挑战自我？
学生：想！
1．内容：
（1）一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2小球何时能落回地面？
（2）一元二次方程(m-1)x2+3mx+( m+4)( m-1)=0有一个根为0，求m的值。
2．说明：
学生交流合作后，教师适当引导提出两个问提：
（1）第一题中小球落回地面是什么意思？
（2）第二题中一个根为0有什么用？
（六）感悟与收获
师生互相交流总结：
1．因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键。
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2．在应用因式分解法时应注意的问题。
3．因式分解法体现了怎样的数学思想？
【作业布置】
习题8.9的1、2题。
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