高数学习资料含讲义及全部内容

函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。

§1、 函 数 一、集合、常量与变量

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。

注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。

2：集合的表示方法：

可用列举出其全体元素的方法来表示，如：A{1,2,3,,(i)、若集合为有限集，就鸡}；10},B{一只猫，一只狗，一只元素的规律，也可类似写出，如：A{1，2，3，}为全体自(ii)、对无限集，若知道其然数集，B{2，4，6，}为全体偶数集；枚举法(iii)、列不出全体元素或找不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质，那么该集}，即：有此性质的必在A中，且A中的元素必合可表示为：A{xx所具有的某种性质A{xx35x27x30}；B{xx为我校的学生}；C{(x,y)点须有此性质。如：(x,y)在D中}等。 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4：集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xA，必有xB，就称A为B的子集，记为AB,或BA(读B包含A)。 显然：NZQR.

若AB,同时BA,就称A、B相等,记为A=B。

5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。

6：不含任何元素的集称为空集,记为,如：{xx210,xR}=,{x:2x1}=,空集是任何集合的子集,即A。

7：区间：所有大于a、小于b(a＜b)的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)={xaxb} 。

同理：[a,b]={xaxb}为闭区间，a,b{xaxb}和a,b{xaxb}分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。

以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。

对无穷区间有：,b{xxb},(a,){xax},(,){xx}R，

在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。

8：邻域：设a和为两个实数，且0.集合{xxa}称为点a的邻域，记为

U(a,),a为该邻域的中心，为该邻域的半径，事实上，

U(a,){xaxa}(a,a)。

同理：我们称U(a,){x0xa}为a的去心邻域，或a的空心邻域。 9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。

2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。

【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。

注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c……等字母表示，变量用x,y,u,t……等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：x(a,b)表示x可代表(a,b)中的任一个数。

二、函数的概念

【例】正方形的边长x与面积S之间的关系为：Sx2，显然当x确定了，S也就确定了。 这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。

定义：设x和y为两个变量，，D为一个给定的数集，如果对每一个xD，按照一定的

法则f变量y总有确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为yf(x).数集D称为该函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。

当x取数值x0D时，依法则f的对应值称为函数yf(x)在xx0时的函数值。所有函数值组成的集合W{yyf(x),xD}称为函数yf(x)的值域。 注 1：函数通常还可用yg(x),yF(x),su(t)等表示。

2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。 【例1】 ysinx的定义域为(,)，值域为[1,1]。 【例2】 y1x的定义域为[1,)，值域为[0,)。

x21【例3】 y21x0x1x01x0的定义域为[1,1]，值域为[0,2]。

【例4】 f(x)1的定义域为(,)，h(x)f(x)h(x)。

x的定义域为(,0)(0,)，从而显然x 3、若对每一个xD，只有唯一的一个y与之对应，就称函数yf(x)为单值函数；若有不止一个y与之对应，就称为多值函数。如：x2y21,x2y21等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。

4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x在(0,1]上

1；当x在[1,0)上取值时，其函数值为1x。2（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！

取值，其函数值为x2；当x取0时，f(x) 5、对D中任一固定的x，依照法则有一个数y与之对应，以x为横坐标，y为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当x取遍D中的每一数时，便得到一个点集

C{(x,y)yf(x),xD}，我们称之为函数yf(x)的图形。换言之，当x在D中变动时，点(x,y)的轨迹就是yf(x)的图形。 【例5】 书上的几个例子。（同学们自己看） 【例6】 例3的图形如下图

三、函数的几种特性

1、 函数的有界性：设yf(x)在D上有定义，若对xD,M0，使得：f(x)M，就称f(x)在D上有界，否则称为无界。

注：1、若对xD，M，使得f(x)M(f(x)M)，就称f(x)在D上有上(下)界。f(x)在D上有界f(x)在D上同时有上界和下界。

2、f(x)在D上无界也可这样说：对M0，总x0D，使得f(x0)M。 【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。

2、函数的单调性：设函数f(x)在区间I上有定义，若对x1、x2I，当x1x2时总有：

（1）f(x1)f(x2)，就称f(x)在I上单调递增，特别当严格不等式f(x1)f(x2)成立时，就称f(x)在I上严格单调递增。

（2）f(x1)f(x2)，就称f(x)在I上单调递减，特别当严格不等式f(x1)f(x2)成立时，就称f(x)在I上严格单调递减。

注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！

2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。 【例8】 符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。

1【例9】 y在(0,)上是严格单减函数。

x【例10】 [例3]中的函数在定义域[1,1]上不是单调的，但在[1,0)上是严格单减的，在

(0,1]上是严格单增的。

3、函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D为对称于原点的数集，即若xD，有xD， (1) 若对xD，有f(x)f(x)恒成立，就称f(x)为偶函数。 (2) 若对xD，有f(x)f(x)恒成立，就称f(x)为奇函数。

【例11】 yx2，ycosx,yx,是偶函数，yx3，ysinx，ysgnx，是奇函数。 yx2x3，ycosxsinx是非奇非偶函数。

【例11】﹡ yln(x1x2)是奇函数。

注：1、偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。

2、若f(x)是奇函数，且0D，则必有f(0)0。

3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。

4、周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果l0，使得对xD，有xlD，且f(xl)f(x)恒成立，就称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。

【例12】 ysinx,ycosx,ytgx分别为周期为2,2,的周期函数，yx[x]为周期为1的函数。

注1：若l为f(x)的周期，由定义知2l,3l,4l也都是f(x)的周期，故周期函数有无穷

多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？）

例如：ysin2xcos2x1，设有最小正周期。

2：周期函数在一每个周期(akl,a(k1)l)（a为任意数，k为任意常数）上，有相

同的形状。

四、反函数

设f(x)的定义域为D，值域为W，因此，对yW，必xD，使得f(x)y，这样的x可能不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x(y)，称之为函数yf(x)的反函数，而f(x)叫做直接函数。 注1：反函数x(y)的定义域为W，值域为D；

2：由上讨论知，即使yf(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究；

3：在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x(y)中的x与y对换一下，yf(x)的反函数就变成y(x)，事实上函数y(x)与x(y)是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母\"\"没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若yf(x)的反函数为x(y)，那么y(x)也是yf(x)的反函数，且后者

较常用；

4：反函数y(x)的图形与直接函数yf(x)的图形是对称于yx（证明很简单，大家自己看书）；

5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。

yb,xy,xy3或分【例13】 函数yaxb,yx,yx的反函数分别为：xa231xb,yx,yx3。 别为ya1

§1、2 初等函数

一、幂函数

形如yx（为常数）的函数叫做幂函数。 其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论： （1） 当为非负整数时，定义域为(,)； （2） 当为负整数时，定义域为(,0)(0,)； （3） 当为其它有理数时，要视情况而定。 【例1】 yx的定义域为(,)；

yx,yx 的定义域为0,；

123413 yx12的定义域为(0,)。

（4） 当为无理数时，规定其定义域为(0,)，其图形也很复杂，但不论取何值，

图形总过（1，1）点，当>0时，还过（0，0）点。

二、 指数函数与对数函数

1、 指数函数：形如yax(a0,a1)的函数称为指数函数，其定义域为(,)，其图形总在x轴上方，且过（0，1）点， （1） 当a1时，yax是单调增加的； （2） 当0a1时，yax是单调减少的；

以后我们经常遇到这样一个指数函数yex,e的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特

别地，yax与yax关于y轴对称。

2、对数函数：指数函数yax的反函数，记为ylogax(a为常数，a0,a1),称为对数函数，其定义域为(0,)，由前面反函数的概念知：yax的图形和ylogax的图形是关于yx对称的，从此，不难得ylogax的图形，

ylogax的图形总在y轴右方，且过（1，0）点

（1） 当a1时，ylogax单调递增，且在（0，1）为负，(1,)上为正； （2） 当0a1时，ylogax单调递减，且在（0，1）为正，(1,) 上为负； 特别当a取e时，函数记为ylnx，称为自然对数函数。

三、 三角函数与反三角函数

1、 三角函数

三角函数主要是：

正弦函数：ysinx余弦函数：ycosx正切函数：ytanx余切函数：ycotxx(,) x(,)

xnxn2n0,1,2,

n0,1,2,

正弦函数和余弦函数均为周期为2的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还

11有两个：正割ysecx和余割ycscx，其图形在此不做讨论了。

cosxsinx2、 反三角函数：

反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：

反正弦函数：yArcsinx反余弦函数：yArccosx反正切函数：yArctanxx[1,1] x[1,1] x(,)

反余切函数：yArccotxx(,)

显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下： 将yArcsinx限制在[数，[,]上，得一单值函数，记为yarcsinx，它就是所取主值函22,]叫做主值区间，显然arcsinx， 2222同理：将yArccosx限制在[0,]上，得yarccosx

将yArctanx限制在[,]上，得yarctanx

22将yArccotx限制在[0,]上，得yarccotx

从图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的，arccosx和arccotx是单调递减的。

四、 复合函数和初等函数 设yf(u)，定义域为D1，u(x)，定义域为D2，值域为W2，且W2D1，这样对于

xD2，由u(x)可算出函数值uW2D1，所以uD1，由yf(u)又可算出其函

数值y，因此对于xD2，有确定的值y与之对应，从而得一个以x为自变量，y为因变量的函数，我们称之为以yf(u)为外函数，u(x)为内函数复合成的复合函数，记为yf((x))，其中u为中间变量。

【例1】 ysin2x就是yu2和usinx复合而成； ycosx2就是ycosu和ux2复合而成。 注1：并非任何两函数都可以复合的，

例如：yarcsinu和u2x2不能复合； yu和u1x2也不能复合。 2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如：

ytan(lnx)2就是ytanu,uv2,vlnx复合成的。

3：在函数复合中，未必都有yf(u)、u(x)的形式，一般为yf(x)和yg(x)，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有yf(x)和yg(x)之分。

2、初等函数

我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。

【例2】 y1x,y12x,ysin2x,ytan(lnx)2,yarctan数。

本教材讨论的主要都是初等函数。

五、 双曲函数和反双曲函数

exex双曲正弦：yshx2exex 双曲余弦：ychx2shxexexx 双曲正切：ythxchxeexx(,)

1sinx等都是初等函

1sinxx(,)

x(,)

反双曲正弦：yarshxln(xx21) 反双曲余弦：yarchxln(xx21)x(,) x[1,)

（多值函数yln(xx21)取“+”号为主值）

11xlnx(1,1) 21x由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。

§1、3 数列的极限

所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列（排）。在数学中，我们可用这样的话来定义：

反双曲正切：yarthx定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为xnf(n),n1,2,3，由于全体自然

x1,x2,xn，数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：

这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为xn或数列xn。数列中的每一数称为数列的项，第n项xn称为一般项或通项。

【例1】 书上用圆内接正62n1边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列

A1,A2,An, （多边形的面积数列）

【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数

11111列：,2,3,n, ，通项为n。

22222111【例3】1,,,;1,1,,(1)n1,;

23n34n1 2,4,6,,2n,;2,,,,,;

23n1n1 都是数列，其通项分别为,(1)n1,2n,。

nn注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将xn依次在数轴上描出点的位置，

11我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，n,是无限接近于0的；2n2nn1是无限增大的；(1)n1的项是在1与1两点跳动的，不接近于某一常数；n无限接近常数1。

对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。

n1n1我们来观察的情况。从图中不难发现随着n的增大，无限制地接近1，nn亦即n充分大时，

n1n11可以任意地小，换言之，当n充与1可以任意地接近，即nn分大时

n111可以小于预先给定的无论多么小的正数。例如，取，由n100n111n11n100，即从第nn100n101项开始，以后的项

x1011021031,x102,都满足不等式xn1，或者说，当n100时，有101102100n11n1111n111n10000，即。同理，若取，由n100nn1000010000n从第10001项开始，以后的项x10001xn11000210003,x10002,都满足不等式1000110002n1111，或说，当n10000时，有。一般地，不论给定的正数n1000010000多么小，总存在一个正整数N，当nN时，有

n11。这就充分体现了当n越来n越大时，

n1n1无限接近1这一事实。这个数“1”称为当n时，的极限。

nn定义：若对0（不论多么小），总自然数N0，使得当nN时都有xna成

立，这是就称常数a是数列xn的极限，或称数列xn收敛于a，记为limxna，或

nxna（n）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。

34n1【例4】证明数列2,,,,,收敛于1。

23n证明：对0，要使得

n11111，只须n，所以取N，当nN时，nn有

n11n11，所以lim1。

nnnn注1：是衡量xn与a的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那么,2,2等也

2具有任意性，它们也可代替）

2：N是随的变小而变大的，是的函数，即N是依赖于的。在解题中，N等于多

少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N，使得当nN时，有xna就行了，而不必求最小的N。

【例5】证明limn2a21。 nnn111,因为证明：对0，因为nnn2a2a2a21

22nnn(nan)n2a21） n （此处不妨设a0，若a0，显然有limn所以要使得

a2n2a2a21，只须就行了。 nna2 即有n. 所以取N[] ，当nN时，因为有

na2 

n2a2n2a21。 1，所以limnnn注3：有时找N比较困难，这时我们可把xna适当地变形、放大（千万不可缩小！），

若放大后小于，那么必有xna。

【例3】 设q1，证明1,q,q2,,qn1,的极限为0，即limqn10。

n证明：若q0，结论是显然的，现设0q1，对0，（因为越小越好，不妨设1），

要使得qn10，即qn1，只须两边放对数后，(n1)lnqln成立就行

lnlnn1 。 lnqlnq了。因为0q1，所以lnq0，所以n1lnn1 取N1，所以当nN时，有q0成立。

lnq

收敛数列的有关性质：

定理1：（唯一性）数列xn不能收敛于两个不同的极限。 证明：设a和b为xn的任意两个极限，下证ab。

由极限的定义，对0，必分别自然数N1,N2，当nN1时，有xna…(1) 当nN2时，有xnb…(2)令NMaxN1,N2，当nN时，（1），（2）同时

成立。现考虑：

ab(xnb)(xna)xnbxna2 由于a,b均为常数ab，所以xn的极限只能有一个。 注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。

【例4】证明数列xn(1)n1是发散的。

证明：（反证法）假设xn收敛，由唯一性，设limxna，按定义，对1,自然数N，

n2111当nN 时，xna，考虑xn1xnxn1axna1，而

222xn，xn1总是一个“1”，一个“1”，所以xn1xn1,所以矛盾，

所以 xn(1)n1 发散。

定理2. （有界性）若数列xn收敛，那么它一定有界，即：对于数列 xn，若正数M，

对一切n，有xnM。

证明：设limxna，由定义对1,自然数N,当nN时，xna1，所以当nNn时，xnxnaa1a，令MMax{x1,x2xN,1a}，显然对一切n，

xnM。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列xn(1)n1是有界的（xn1），

但函数收敛。此点希望注意！

§1、4 函数的极限

由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，xnf(n)，因此，数列是函数的一种特性情况。此处讲的是函数的极限，就是数列极限意义的。它主要表现在两个方面：

一、

自变量x任意接近于有限值x0，或讲趋向（于）x0（记xx0）时，相应

的函数值f(x)的变化情况。

二、当自变量x的绝对值x无限增大，或讲趋向无穷大（记x）时，相应的函数值f(x)的变化情况。

一、

自变量趋向有限值x0时函数的极限

与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值x0时的函数极限可理解为：当xx0时，，即当xx0时，f(x)与A无限地接近，或说f(x)A可任意f(x)A（A为某常数）

小，亦即对于预先任意给定的正整数（不论多么小），当x与x0充分接近时，可使得

f(x)A小于。用数学的语言说，即

定义1：如果对0（不论它多么小），总0，使得对于适合不等式0xx0

的一切x所对应的函数值f(x)满足：f(x)A，就称常数A为函数f(x)当

xx0时的极限，记为

limf(x)A，或f(x)A （当xx0时）

n

注1：“x与x0充分接近”在定义中表现为：0，有0xx0，即xU(x0,)。

显然越小，x与x0接近就越好，此与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依赖于。一般地，越小，相应地也小一些。

2：定义中0xx0表示xx0，这说明当xx0时，f(x)有无限与f(x0)在x0点（是

否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与f(x0)值也无关）。

3：几何解释：对0，作两条平行直线yA,yA。由定义，对此,0。

当x0xx0，且xx0时，有Af(x)A。即函数。换yf(x)的图形夹在直线yA,yA之间（f(x0)可能除外）言之：当xU(x0,)时，f(x)U(A,)。从图中也可见不唯一！

【例1】 证明limCC （C为一常数）

xx0证明：对0，可取任一正数，当0xx0时，f(x)ACC0，

所以limCC。

xx0【例2】 证明lim(axb)ax0bxx0(a0)

证明：对0，要使得(axb)(ax0b)a(xx0)axx0，只须

xx0a， 所以取a0显然当xx0时，有(axb)(ax0b)。

x212 。 【例3】 证明lim2x12xx13x212x121x证明：对0，因为a1,所以x10. 22xx132x133(2x1) [此处x1，即考虑x01附近的情况，故不妨限制x为0x11，即0x2，

x1x2121x，要使2,只须 x1]。因为2x11,3(2x1)32xx13

x13，即x13。取min{1,3}（从图形中解释），当0x1时，

x212有2。 2xx13

定理1：（保号性）设limf(x)A，

xx0（i） （ii）

若A0(A0)，则0，当xU(x0,)时，f(x)0(f(x)0)。 若f(x)0(f(x)0)，必有A0(A0)。

A证明：（i）先证A0的情形。取，由定义，对此,0，当xU(x0,)时，

2AAAA3Af(x)A，即0Af(x)Af(x)0。

22222A 当A0时，取，同理得证。

2 （ii）(反证法)若A0，由(i)f(x)0 矛盾，所以A0。 当f(x)0时，类似可证。

注：(i)中的“”，“”不能改为“”，“”。 在(ii)中，若f(x)0，未必有A0。

在函数极限的定义中，x是既从x0的左边（即从小于x0的方向）趋于x0，也从x0的右边（即从大于x0的方向）趋于x0。但有时只能或需要x从x0的某一侧趋于x0的极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：

定义2：对0，0，当x0xx0时，[当x0xx0时]，有f(x)A.

这时就称A为f(x)当xx0时的左[右]极限，记为limf(x)A或f(x0)A。

xx00 [limf(x)A或f(x00)A]。

xx00定理2：limf(x)Alimf(x)limf(x)A。

xx0xx00xx00【例4】limsgn(x)1,limsgn(x)1，因为11，所以limsgn(x)不存在。

x00x00x01【例5】设f(x)2x1x00x00x0x0，求limf(x)。

x0 解：显然limf(x)lim11 limf(x)lim(2x1)1

x00x00因为limf(x)limf(x)1，所以limf(x)1。

x00x00x0

二、自变量趋向无穷大时函数的极限

定义3：设f(x)当xa(a0)时是有定义的，若对0,X(a)，当xX时，有

f(x)A，就称A为f(x)当x时的极限，记为limf(x)A或f(x)Ax（当x时）。

注1：设f(x)在[a,),((,b])上有定义，若对0,X0，当xX(xX)时，

有f(x)A，就称A为f(x)当x(x)时的极限，记为

x（limf(x)A，或f(x)A（当limf(x)A，或f(x)A（当x）

xx））。

2：limf(x)Alimf(x)limf(x)A。

xxx 3：若limf(x)A，就称yA为yf(x)的图形的水平渐近线（若limf(x)A或

xxx。 limf(x)A，有类似的渐近线）

【例6】 证明limsinx0。

xxsinxsinxsinx10，只须，所以要使得0xxxx证明：对0，因为

11sinx1x，故取X，所以当xX时，有0，所以xxlimsinx0。

xx

§1、5 无穷小与无穷大 一、无穷小

若f(x)当xx0或x时的极限为零，就称f(x)为当xx0或x时的无穷小，即有

定义1：对0,若0(X0)，使得当0xx0(xX)时，有f(x)成立，

就称f(x)为当xx0(x)时的无穷小，记为limf(x)0(limf(x)0)。

xx0x

注1：除上两种之外，还有x,x,xx00,xx00的情形。

2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，

因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数。 【例1】 因为lim(2x4)2240，所以2x4当x2时为无穷小；

x2同理：limx0sinxsinx当x时为无穷小， 0，所以

xxx而lim(2x4)40，所以2x4当x0时不是无穷小。

定理1：当自变量在同一变化过程xx0（或x）中时：

（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：A为f(x)的极限f(x)A为无穷小。

（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限（证明在下一节）。

二、无穷大

若当xx0或x时f(x)，就称f(x)为当xx0或x时的无穷大。 定义2：若对M0,0(X0)，使得当0xx0(xX)时，有f(x)M，就

称f(x)当xx0(x)时的无穷大，记作:limf(x)(limf(x))。

xx0x

注1：同理还有f(x),f(x)时的定义。

2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

3：若limf(x)或limf(x)，按通常意义将，f(x)的极限不存在。

xx0x11，所以当时为无穷大。 x02x0x2x定理2：当自变量在同一变化过程中时， 【例2】 可证明lim（i）若f(x)为无穷大，则

1为无穷小。 f(x)1为无穷大。 f(x)（ii）若f(x)为无穷小，且f(x)0，则（证明自己看）

§1、6 极限运算法则

由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设lim0,lim0lim()0（证明

在后面）。

注1：u与都表示函数u(x)与(x)，而不是常数。

2： “lim”下放没标自变量的变化过程，这说明对xx0及x均成立，但须同

一过程。

定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u有界，lim0limu0。 证明：证明xx0时的情况，设函数u在x0的某邻域U(x0,1)内有界，即M0，当

xU(x0,1)时，有uM，又设为当xx0时的无穷小，即lim0，故

xx0对0,0(1)，当xU(x0,)时，有xx0MuuMM

所以limu0，即u为无穷小；同理可证x时的情形。

推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k为常数，lim0limk0。 推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设

lim1lim2limn0lim(12n)0。

定理

3：若limf(x)A,limg(x)B，则lim[f(x)g(x)]存在，且

lim[f(x)g(x)]ABlimf(x)limg(x)。

证明： 只证lim[f(x)g(x)]AB，过程为xx0，对0,10，当0xx01

时，有f(x)A2，对此，20，当0xx02时，有g(x)B2，

取min{1,2}，当0xx0时，有

(f(x)g(x))(AB)(f(x)A)(g(x)B)f(x)Ag(x)B 所以lim(f(x)g(x))AB。

xx022

其它情况类似可证。

注1：本定理可推广到有限个函数的情形。

2：在本定理中，设limf(x)A,g(x)A(limg(x)A)lim(f(x)A)AA0，

反之，若f(x)A，其中lim0limf(x)lim(A)AlimA，即证§定理1。

3：若令AA0，即证定理1。

定理4：若limf(x)A,limg(x)B，则limf(x)g(x)存在，且

limf(x)g(x)ABlimf(x)limg(x)。

证明：因为limf(x)A,limg(x)B，由§定理1（i）f(x)A,g(x)B,

（,均为无穷小）f(x)g(x)(A)(B)AB(AB)，记

AB，由定理2的推论及定理1为无穷小，再由§定理1（iii）

limf(x)g(x)AB。

推论1：lim[cf(x)]climf(x)（c为常数）。 推论2：lim[f(x)]n[limf(x)]n（n为正整数）。

定理5：设limf(x)A,limg(x)B0，则limf(x)Alimf(x)。 g(x)Blimg(x)证明：设f(x)A,g(x)B（,为无穷小），考虑差：

f(x)AAABA g(x)BBBB(B) 其分子BA为无穷小，分母B(B)B20，我们不难证明

1有界

B(B)（详细过程见书上）BAf(x)A，由§定为无穷小，记为，所以

B(B)g(x)B理1（ii）limf(x)A。 g(x)B注：以上定理对数列亦成立。

定理6：如果(x)(x)，且lim(x)a,lim(x)b，则ab。 【例1】lim(axb)limaxlimbalimxbax0b。

xx0xx0xx0xx0【例2】limxn[limx]nx0。

xx0xx0n推论1：设f(x)a0xna1xn1an1xan为一多项式，当

xx0limf(x)a0x0a1x0nn1an1x0anf(x0)。

P(x)P(x0)。

xx0Q(x)Q(x0)推论2：设P(x),Q(x)均为多项式，且Q(x0)0，由定理5，lim

【例3】lim(x25x10125113。

x1x37x903709530030）【例4】lim5（因为。 5x0xx3003

注：若Q(x0)0，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。

x2x2【例5】求lim2。

x12xx3解：当x1时，分子、分母均趋于0，因为x1，约去公因子(x1)，

x2x2x23lim。 所以 lim2x12xx3x12x35133)。

x1x1x113解：当x1,全没有极限，故不能直接用定理3，但当x1时， ,3x1x1【例6】求lim(13(x1)(x2)x23，所以 22x1x1(x1)(xx1)xx1lim(13x2123)lim21。 x1x1x1xx1(1)2(1)1x1x2【例7】求lim。

x2x2解：当x2时，x20，故不能直接用定理5，又x24，考虑：limx2。 由§定理2（ii）limx2x2x2x222 0，

4x2【例8】设a00,b00,m,n为自然数，则

a0b0a0xna1xn1an lim0xbxmbxm1b01m当nm时当nm时。 当nm时证明：当x时，分子、分母极限均不存在，故不能用§定理5，先变形：

aaa01nnn1na0xa1xannmxxlimx lim

xbxmbxm1bxbb01mb01mxxma0001b000a00 00b000a000b000当nm时当nm时 当nm时12n)。

nn2n2n2解：当n时，这是无穷多项相加，故不能用§定理3，先变形：

11n(n1)n11 原式lim2(12n)lim2lim。

nnnnn22n2【例9】求lim(【例10】证明lim证明：先考虑1xx1,x为x的整数部分。

xxxxxx1。 xx§定理2lim0lim(1)0limxxxxxx

§ 极限存在准则、两个重要极限

xxx，因为xx是有界函数，且当x时，10，所以由

准则I：如果数列xn,yn,zn满足下列条件：

（i）对n,ynxnzn; （ii）limynlimzna

nn那么，数列xn的极限存在，且limxna。

n证明：因为limynlimzna，所以对0,N10，当nN1时，有yna，即

nn ayna，对N2，当nN2时，有zna，即azna，又

因为ynxnzn，所以当nNMax{N1,N2}时，有aynxnzna，

即有：axna，即xna，所以 limxna。

n准则I′如果函数f(x),g(x),h(x)满足下列条件：

（i）当xU(x0,r)(xM)时，有g(x)f(x)h(x)。 （ii）当xx0(x)时，有g(x)A,h(x)A。 那么当xx0(x)时，f(x)的极限存在，且等于A。 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：lim证明：作单位圆，如下图：

sinx1。

x0x

设x为圆心角AOB，并设0x2见图不难发现：SAOBS扇形AOBSAOD，即：

111sinxxtanx，即 sinxxtanx， 222x1sinx 1cosx1

sinxcosxx （因为0x2，所以上不等式不改变方向）

x及1的值均不变，故对满足0x的一切 sinx2sinx x ，有cosx1。

x 当x改变符号时，cosx,

xx2x21 又因为cosx1(1cosx)12sin()12，

2422x2cosx1 所以 12limcosx1

x0 而limcosxlim11x0x0limsinx1 ，证毕。

x0x

csinx令tarcsinxt1limlim1。 【例1】limx0t0t0sintxsinttsinxsin(x)sintlimlim1。

xxxxtxt0ttan3xsin3x1【例3】limlim33113。

x0x0x3xcosxxx2sin2()sin1cosx21lim(2)21。 【例4】limlimx0x02x0x2x2x22

准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 【例2】lim 如果数列xn满足：x1x2xn，就称之为单调增加数列；若满足：

x1x2xn，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通

称为单减数列和严格单减数列。

如果M，使得：xnM(n1,2,)，就称数列xn为有上界；若M，使得：

xnM(n1,2,)，就称{xn}有下界。

准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。

注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。

2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。

1作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限lim(1)x是不存在的。

xx1先考虑x取正整数时的情形：lim(1)n

nnbn1an1(n1)bn，即：bn1an1(n1)bn(ba)， 对于ba0，有不等式：

ba即：an1bn[(n1)anb]

11,b1，显然ba0，因为(n1)anbn11(n1)1将n1n1n111其代入，所以(1)(1)n，所以{(1)n}为单调数列。

n1nn111（ii）又令a1，b1,(n1)anbn1(n)

2n221111所以1(1)n2(1)n 4(1)2n，

2n22n2n12n112n2x2n4， 又对(1即对n,)(1)4

2n12n21所以{(1)n}是有界的。

n1由准则Ⅱ或Ⅱ′知 lim(1)n存在，并使用e来表示，即

xn1lim(1)ne2.718281828459045 xn

注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看！ （i）现令a11 2：我们可证明：lim(1x)lim(1)ne，具体在此不证明了，书上也有，由证明

xnn1x过程知：lim(1x)lim(1x)e。

xx1x1x 3：指数函数yex及自然对数ylnx中的底就是这个常数e。

211【例1】 lim(1)xlim[(1)2]2[lim(1)2]2e2

xxxxxx22xx【例2】 lim(1x)lim(1z)ze

x0z11zxx11x111x111【例3】 lim(1)x1lim[(1)](1)[lim(1)]lim(1)e11

xxxxxxxxxe2n1n2n)lim(1)lim(1【例4】 lim(x2n1xx2n111n2)n12(111n2)121211 ee1

 Cauchy 极限存在准则：数列xn收敛对0,N，当nN,mN时，有

xnxm。

注 1：此定理证明较繁，在此不证了。

2：本定理理论性较强，但不实用，故只须了解就行了。

§1、8 无穷小的比较

在§1、6中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，

a0bna0x0nma0例如：limlimx0x0bxmx0b00mnmn （a0,b0为常数，m,n为自然数） mn可见对于m,n取不同数时，a0xn与b0xm趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：

定义：设与为x在同一变化过程中的两个无穷小，

0，就说是比高阶的无穷小，记为o()； (ii) 若lim，，就说是比低阶的无穷小；

(iii) 若limC0，，就说是比同阶的无穷小；

(i)

若lim

(iv) 若lim

【例1】

1，就说与是等价无穷小，记为~。 当x0时，x2是x的高阶无穷小，即x2o(x)；反之x是x2的低阶无穷小；

x2 与1cosx是同阶无穷小；x与sinx是等价无穷小，即x~sinx。

注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：x2o(x),x2o(x)，但o(x)o(x)，因为

o()不是一个量，而是高阶无穷小的记号；

2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；

3：等价无穷小具有传递性：即~,~~；

1 4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当x0时，xsin与x2既非同阶，

x1xsinx不存在； 又无高低阶可比较，因为limx0x2 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；

6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：

定理：若,,,均为x的同一变化过程中的无穷小，且~,~，及lim，

那么limlim。

1cosx【例2】 求lim。

x0sin2x解：因为当x0时，sinx~x

1cosx1cosx1所以 limlim。 2x0sin2xx02xarcsin2x【例3】 求lim2

x0x2x解：因为当x0时，arcsin2x~2x，

2x22 所以 原式lim2lim1。

x0x2xx0x227：在目前，常用当x0时，等价无穷小有：

1sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1cosx~x2；

28：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！

§ 函数的连续性与间断点 一、 函数的连续性

连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，

函数的图象连绵不断。在数学上，我们有：

定义 1：设yf(x)在x0的某邻域内有定义，若limf(x)f(x0)，就称函数yf(x)在x0

xx0点处连续。

注 1：f(x)在x0点连续，不仅要求f(x)在x0点有意义，limf(x)存在，而且要

xx0xx0limf(x)f(x0)，即极限值等于函数值。

xx0 2：若

limf(x)f(x00)f(x)，就称f(x)在x0点左连续。若

xx0limf(x)f(x00)f(x)，就称f(x)在x0点右连续。

3：如果f(x)在区间I上的每一点处都连续，就称f(x)在I上连续；并称f(x)为I上

的连续函数；若I包含端点，那么f(x)在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。

定义1ˊ：设yf(x)在x0的某邻域内有定义，若对0,0，当xx0时，有

f(x)f(x0)，就称f(x)在x0点连续。

下面再给出连续性定义的另一种形式：

先介绍增量：变量u由初值u1变到终值u2，终值u2与初值u1的差u2u1称为u的增量，

记为u，即uu2u1；u可正、可负、也可为零，这些取决于u1与u2的大小。 我们称xx0为自变量x在x0点的增量，记为x，即xxx0或xx0x；

xx0x0相应函数值差，f(x)f(x0)称为函数f(x)在x0点的增量，记为y，

即yf(x)f(x0)yy0，即f(x)f(x0)y或yy0y，

f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)0y0。

定义1″：设yf(x)在x0的某邻域内有定义，若当x0时，有y0，即limy0，

x0或lim[f(x0x)f(x0)]0，就称f(x)在x0点连续。

x0定理：f(x)在x0点连续f(x)在x0点既左连续，又右连续。

【例1】 多项式函数在(,)上是连续的；所以limf(x)f(x0)，有理函数在分母不

xx0等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的。

以上由§【例2】的推论1、推论2即得。

【例2】不难证明ysinx,ycosx在(,)上是连续的。 【例3】证明f(x)x在x0点连续。

证明：limxlim(x)0,limxlimx0，又f(0)0，所以由定理  f(x)x在

x0x00x0x00x0点连续；

或由前§习题5知limx0f(0)，所以  f(x)x在x0点连续。

x0x2【例4】讨论函数yx2x00x00x0x0, 在x0的连续性。

解：limylim(x2)022x00limylim(x2)022 ，因为22，

x00所以该函数在x0点不连续，又因为f(0)2，所以为右连续函数。

二、 间断点

简单地说，若f(x)在x0点不连续，就称x0为f(x)的间断点，或不连续点，为方便起见，在此要求x0的任一邻域均含有f(x)的定义域中非x0的点。间断点有下列三种情况： （1）f(x)在xx0没有定义； （2）limf(x)不存在；

xx0（3）虽然limf(x)不存在，也虽然在x0点有定义，但limf(x)f(x0)。

xx0x0n种常见的间断点类型：

1【例5】设f(x)2，当x0,f(x)，即极限不存在，所以x0为f(x)的间断点。

x1因为lim2，所以x0为无穷间断点。

x0x1【例6】ysin在x0点无定义，且当x0时，函数值在1与1之间无限次地振荡，

x而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。

01.f(x)12、f(x)01qxQxQ x均为振荡间断点。

p xQ不连续，xQ连续。 qx0,1或无理数x【例7】 ysinxsinx在x0点无定义，所以x0为其间断点，又lim1，所以若补

x0xx充定义f(0)1，那么函数在x0点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。

【例8】 [例4]的函数在x0点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于f(0)的，这

种间断点称为跳跃间断点。例如ysgnx在x0处即为跳跃间断点。

归纳：(1)limf(x)，x0为无穷间断点；

xx0 (2)limf(x)震荡不存在，x0为震荡间断点；

xx0 (3)limf(x)Af(x0)，x0为可去间断点；

xx0 (4)limf(x)limf(x)，x0为跳跃间断点。

xx00xx00

如果f(x)在间断点x0处的左右极限都存在，就称x0为f(x)的第一类间断点，显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点。

§1、10 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、 续函数的运算

定理1(连续函数的四则运算法则)：若f(x),g(x)均在x0连续，则f(x)g(x),f(x)g(x)及

f(x)（要求g(x0)0）都在x0连续。 g(x)定理2（反函数的连续性）：如果yf(x)在区间Ix上单值，单增（减），且连续，那么其

反函数x(y)也在对应的区间Iy{yyf(x),xIx}上单值，单增（减），且连续。

注1：y(x)亦为yf(x)的反函数，如上知：y(x)在Iy上有上述性质。

定理3：设u(x)当xx0时的极限存在且等于a，即lim(x)a，又设yf(u)在

xx0ua处连续，那么，当xx0时，复合函数yf((x))的极限存在，且等于f(a)，

即limf((x))f(a)。

xx0

注2：可类似讨论x时的情形。

定理4：设函数u(x)在点xx0连续，且(x0)u0，函数yf(u)在u0点连续，那么，

复合函数yf((x))在点xx0处连续。

注3：定理3、4说明lim与f的次序可交换。 注4：在定理3中代入au0(x0)，即得定理4。

【例1】 由于yx（m为正整数）在[0,)上严格单调且连续，由定理2，其反函数yx

在[0,)上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数yx（为正整数）在定义上是连续的。

【例2】求lim2x0m1mq,p0,p,qpsinx x解：因为limsinx1，及2u在u1点连续，故由定理3，原式

x0xsinx211。

x0x2lim二、 初等函数的连续性

我们已知道ysinx,ycosx在其定义域内是连续的，由§定理2知garcsinx和

yarccosx在其定义域也是连续的。

可证明指数函数yax(a0,a1)，在其定义域(,)内是严格单调且连续的，进而有对数函数ylogax(a0,a1)在其定义域(0,)是连续的。

又yxalogax（为常数），由定理4知：yx在(0,)内是连续的，当取有理数时，见例1，总之yx在定义域内是连续的。

综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，

及定理1～4，即得：

结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

注1：定义区间为包含在定义域内的区间；

2：在§，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。

【例3】limesin(2arctanx)esin(2arctan1)e 。

x1ln(1x)limln(1x)xlnlim(1x)xlne1。 【例4】limx0x0x0x11【例5】limsinxsinalimxaxaxa2sinxaxaxacossin22lim2cosxa

xaxaxa22limtxa2sintcos(ta)cosa。

t0t

§ 闭区间上连续函数的性质

一、 最大值和最小值的定理

定义：设f(x)在区间I上有定义,若x0I，使得对xI，有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)) 就称f(x0)为f(x)在I上的最大值（最小值），称x0为最大点（最小点）。

注1：显然，最值是唯一的，而最点不一定唯一，如：ysinx； 2：最点必在I内；

3：若在I上，最大值与最小值相等，那么，在I上，f(x)为常数；

g(x)x2 4：一般而言，最值未必存在，如：f(x)x在(1,1)上既无最大值，也无最小值；

在(1,1)上有最小值，但无最大值；那么，究竟何时同时有最大值与最小值呢？

定理1（最大值与最小值定理）：在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。

注1：“闭区间”与“连续”二条件缺一不可； 2：f(x)若在I上取得最大、最小值，f(x)未必连续，I也未必为闭区间。

反例1：yx1x反例2：y01xx(1,1)

x0x0x0 x[1,1]

定理2（有界性定理）：闭区域上的连续函数在该区间一定有界。

二、 介值定理 零点：若x0使得f(x0)0，就称x0为f(x)的零点（或f(x)0的根）。

定理3（零点定理）：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，那么，在开区间(a,b)上， 至少存在一点，使得f()0，即f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

注1：本定理对判断零点的位置很有用处，但不能求出零点；

2：从几何上看(a,f(a))与(b,f(b))在x轴的上下两侧，由于f(x)连续，显然，在(a,b)

上,f(x)的图象与x轴至少相交一次；

3：若f(a)f(b)0，则不能判定没有零点，须进一步考查。

定理4（介值定理）：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)，那么，对于f(a)与f(b)之

间的任意常数C，在(a,b)内至少存在一点，使得f()C,(ab)。

注1：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)，则有：[f(a),f(b)]f([a,b])； 2：由f()C说明是f(x)C的零点；

3：几何图象上看，曲线yf(x)与yC在(a,b)上至少有一个交点。

推论：设在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)有最大值M和最小值m，那么，对于C(m,M) 必(a,b)，使得f()C。

注4：注1中的f([a,b])事实上就是[m,M]。

5：以上定理，若书上有证明，请自己看。

1【例1】验证方程4x2x有一根在0与之间。

2解：令f(x)4x2x1f(0)10

11f()422220 221 又f(x)在[0,]上是连续的，故由零点定理，知：

21 (0,)，使得f()0，即42，

21 所以 方程4x2x有一根在0与之间。

2

【例2】证明方程xasinxb，其中a0,b0，至少存在一个正根，并且它不超过ab。 证明：令f(x)xasinxb，显然，f(0)b0，又

f(ab)abasin(ab)ba[1sin(ab)]0

（i）若f(ab)0，即ab是f(x)的零点，亦即方程xasinxb的根，此时得

证；

（ii）若f(ab)0，必有f(ab)0，因为f(x)在[0,ab]上是连续的，所以由零点定理，至少(0,ab)，使得f()0，即为xasinxb的根，所以此时也得证。