3数学 求曲线r=3cosx,r=1+cosx所围平面图形公共部分的面积
2024-12-11
来源：独旅网
求解过程如下：因为r = 3cosθ，r = 1 + cosθ，所以3cosθ = 1 + cosθ，cosθ = 1/2，θ = π/3 或 2π - π/3 = 5π/3，交点为(3/2，π/3)和(3/2，5π/3)。所以阴影面积：= 2[∫(0→π/3) (1/2)(3cosθ)² dθ + ∫(π/3→π/2) (1/2)(1 + cosθ)² dθ] = (9/2)∫(0→π/3) (1 + cos2θ) dθ + ∫(π/3→π/2) (1 + 2cosθ + cos²θ) dθ = (9/2)[θ + sinθcosθ] |(0→π/3) + [θ + 2sinθ + (1/2)(θ + sinθcosθ)] |(π/3→π/2) = (9/2)[π/3 + (√3/2)(1/2)] + [π/2 + 2 + (1/2)(π/2)] - [π/3 + √3 + (1/2)(π/3 + (√3/2)(1/2))] = 2 + 7π/4。
即曲线r=3cosx，r=1+cosx所围平面图形公共部分的面积为2 + 7π/4。
扩展资料：求多条曲线围成的面积的步骤如下：
1、根据曲线方程，在坐标系中绘制两条曲线。
2、求出两条曲线的交点坐标，得到相交所得面积的变量取值范围。
3、列出求面积的定积分式子，该定积分式子的被积函数由两曲线方程相减得到。
4、解出定积分式子，解出的值即为两条曲线相交围成的面积大小。
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