数学秦九韶公式的说明与推广
发布网友
共2个回答
热心网友
根据海伦-秦九韶公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海*式的推广
S圆内接四边形=
根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√
3
[编辑本段]推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p
=
(a+b+c)/2,则
S△ABC
=1/2
aha
=1/2
ab×sinC
=1/2
r
p
=
2R2sinAsinBsinC
=
√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
就是著名的海*式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
[编辑本段]海*式在解题中有十分重要的应用。一、
海*式的证明
证一
勾股定理
如右图
勾股定理证明海*式。
证二：斯氏定理
如右图。
斯氏定理证明海*式证三：余弦定理
分析：由变形②
S
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－2abcosC
对其进行证明。
证明：要证明S
=
则要证S
=
=
=
ab×sinC
此时S
=
ab×sinC/2为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
恒等式证明(1)
恒等式证明(2)证五：半角定理
∵由证一，x
=
=
－c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p－a
z
=
=
－b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴S△ABC
=
r·p
=
故得证。
二、
海*式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海*式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海*式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=
,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA
=
e
EB
=
f
∵∠1+∠2
=180○
∠2+∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△EAB～△ECD
∴
=
=
=
解得：
e
=
①
f
=
②
由于S四边形ABCD
=
S△EAB
将①，②跟b
=
代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD
=
所以，海*式的推广得证。
[编辑本段]例题：
如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD
=
,AD
=
1,AB
=
1,
CD
=
2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC
=
x
由海*式的推广，得：
(4－x)(2＋x)2
=27
x4－12x2－16x＋27
=
0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)
=
0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)
=
0
x
=
1或x3＋x2－11x－27
=
0
当x
=
1时，AD
=
BC
=
1
∴
四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
dim
a,b,c,p,q,s
a=inputbox("请输入三角形第一边的长度")
b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")
c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")
a=1*a
b=1*b
c=1*c
p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)
q=sqr(p)
s=(1/4)*q
msgbox("三角形面积为"&s),
,"三角形面积"
在VC中实现
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{
int
a,b,c,s;
printf("输入第一边\n");
scanf("%d",&a);
printf("输入第二边\n");
scanf("%d",&b);
printf("输入第三边\n");
scanf("%d",&c);
s=(a+b+c)/2;
printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
}
海*式
热心网友
海*式又译作希*式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海*式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海*式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角型ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2）：
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海*式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海*式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。这是从别的地方参考得到的，希望能对你有所帮助，同时希望能配合自己画的图像理解，效果更好啊 或许这能对你有帮助
