滤波器的基本概念

发布网友 发布时间：2022-04-22 10:00

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热心网友 时间：2022-05-12 22:40

滤波的实现可以利用模拟电滤波器，也可以利用数字滤波。过去，无论野外采集还是室内处理都采用由电阻、电感、电容等电器元件组成的模拟电滤波器。模拟电滤波器存在着严重的缺点，其结构比较复杂，改变滤波器的特性比较困难，而且还存在着不需要的相位移等。数字滤波利用数*算的方法实现滤波，简单、方便，目前室内滤波处理已广泛采用数字滤波的方法。

一个原始信号通过某一装置后变为一个新信号的过程称为滤波。原始信号称为输入，新信号称为输出，该装置则叫做滤波器。从广义上讲，任何一个过程和系统都可以称为滤波器。所谓“信号”、“装置”的概念亦应当广义地理解，可能是具体的（如电流信号和电感、电容、电阻等元件组成的“装置”），也可能是抽象的（如数和数*算）。

1.线性时不变滤波器的响应特征和滤波机理

滤波器的种类十分繁多，地震勘探中最为常用的是线性时不变滤波器。

1）线性时不变滤波器的概念

滤波器对输入信号的改造作用可分为线性的和非线性的两大类型，简单地定义：线性滤波器是其特性与输入的性质、极性和大小都无关的滤波器，并且输出信号只包含输入信号所拥有的成分，不会有新的成分出现；非线性滤波器的特性则与之相反。

线性滤波器的基本性质是满足叠加原理和正比定理。设不同的信号x₁ （t）、x₂ （t）……分别输入到滤波器，输出为y₁ （t）、y₂ （t）……现在如果输入信号为

x（t）＝ax₁（t）＋bx₂（t）＋… （4-2-1）

其中a、b为任意常数，则输出必为

y（t）＝ay₁（t）＋by₂（t）＋… （4-2-2）

因为线性运算比非线性运算容易得多，故线性滤波器比非线性滤波器简单得多。

时不变性质即滤波器对输入信号的改造作用与时间无关。换言之，当输入为x（t）时滤波器的输出为y（t）。若输入为x（t-τ）则输出正好是y（t-τ），它与时移大小τ无关。

2）滤波器的响应特性

对滤波器滤波能力的最普遍度量是其响应特性。从经典通信论的观点来看，不考虑滤波器的内部结构，只从其输入、输出间关系定义出的滤波器特性称为响应函数。

时间函数之间的运算称为时间域运算。时间域中的响应函数称为脉冲响应，或称滤波器的时间函数、权函数或滤波因子。它定义为对单位脉冲δ（t）输入所得到的输出h（t）。

一个时间函数经傅里叶变换后可以得到其频谱，或称之为频率域中的函数。频率域函数之间的运算称为频率域运算。频率域中的响应函数称为频率响应，或称滤波器的频率特性、传递函数或转移函数。它是脉冲响应h（t）的傅里叶变换H（ω），也可以看作是输出信号的频谱与输入信号的频谱之比。一般来说它是复变函数，可以写成指数形式：

地震波场与地震勘探

其中：|H（ω）|称为滤波器的振幅特性，它影响输入信号的振幅谱；ϕ_h （ω）称为滤波器的相位特性，它对输入信号的相位谱产生改造作用。

3）线性时不变滤波器的滤波机理

线性时不变滤波器在时间域中滤波作用的实现用输入信号x（t）与滤波器的脉冲响应h（t）的褶积运算表示

地震波场与地震勘探

而在频率域中则表示为输入信号的频谱X（ω）与滤波器的传输函数H（ω）相乘：

Y（ω）＝X（ω）H（ω） （4-2-5）

因此，输出信号的振幅谱和相位谱分别为

地震波场与地震勘探

因为傅里叶变换是可逆的，故频率域运算与时间域运算完全等价。在两个域中表示的滤波机理归结如下：

地震波场与地震勘探

线性时不变滤波器的时间域滤波机理可以这样来理解：将输入想像为在采样瞬间由函数值确定其大小的一个脉冲序列；该序列的每个脉冲均使滤波器产生相应的脉冲响应；根据线性时不变性质，输入为所有单个脉冲之和组成的脉冲序列，则输出由所有这些单个脉冲的响应叠加组成。这一点通过数值褶积的物理过程（图4-2-1）可以看得很清楚。

图4-2-1 数值褶积的物理过程

其中h_n＝（1，-1，0.5）

线性时不变滤波器的频率域滤波机理更容易理解，即对输入信号中的不同频率成分用不同的权系数值相乘，结果组成输出信号的频谱。

利用Z变换的形式表示数字滤波的作用十分方便。若输入（x_i）、输出（y_i）和脉冲响应（h_i）及其Z变换分别为

地震波场与地震勘探

用Z变换表示滤波过程则有：

Y（Z）＝X（Z）H（Z） （4-2-6）

从形式上看，它与频率域滤波作用一样，是乘积。从多项式相乘的运算来看，它又与时间域滤波的运算一样，是褶积运算。因此，它同时表示了两个域中的滤波作用，是一种十分方便的表达形式。

2.滤波器的稳定性和物理可实现性

当输入信号为有限，其输出信号也为有限时，这种滤波器就是稳定的。即：若存在一个正数L，使得输入信号x（t）满足|x（t）|≤L，也有一个正数M，使得输出信号y（t）满足条件|y（t）|≤M，则此滤波器是稳定的。

对滤波器的一个基本要求是“稳定”，不稳定的滤波器无法使用。

滤波器稳定的充要条件是：

地震波场与地震勘探

满足因果律（即输入之前不会产生输出）的滤波器称为物理可实现的。滤波器是物理可实现的充要条件是：

h（t）≡0 当 t ＜ 0时 （4-2-8）

物理滤波器（包括电滤波器）都是物理可实现的，数字滤波器则不然。

对于Z变换为多项式的滤波器来说，分析其稳定性和物理可实现性比较方便。Z变换为有理分式的滤波器（例如A（Z）＝1/B（Z））则比较复杂，只有求出其分母多项式的全部根才能做出判断：当所有的根均不在单位圆（|Z|＝1）上时，这个滤波器是稳定的；当所有的根都在单位圆外时，这个滤波器是物理可实现的。

3.滤波器的分类

可以有多种方式对滤波器进行分类。按滤波器的性质（即响应函数）划分，可分为

1）无畸变滤波器。

振幅特性为常数，相位特性是线性的滤波器称为无畸变滤波器。这种滤波器不改变输入信号的波形，它的频率响应为

，其中a₀、t₀均为常数，故：

地震波场与地震勘探

2）相位畸变滤波器（纯相位滤波器、全通滤波器）

它只改变输入信号的相位谱，振幅谱形状不变。其振幅特性为常数|H（ω）|＝a₀，但相位特性不是线性的。

3）振幅畸变滤波器

这种滤波器的振幅特性|H（ω）|不是常数，而且实际工作中总是希望滤波时不使信号产生相位畸变或相位移。这样的滤波器叫做零相位滤波器，即ϕ_h（ω）＝0，H（ω）＝|H（ω）|。

因为H（ω）＝|H（ω）|，而|H（ω）|≥0，故H（ω）必为非负的实函数。

又因为输入、输出均为实时间函数，故h（t）也必定是实时间函数。由傅里叶变换性质可知，实时间函数的频谱具有共轭性质，即

。因H（ω）本身是实函数，实函数的共轭为其自身，即

，故有H（ω）＝H（-ω），说明H（ω）是偶函数。

因此，零相位滤波器的频率响应函数H（ω）是非负的实偶函数。

由傅里叶变换的性质可知，非负的实偶函数H（ω）所对应的时间函数h（t）必为实偶函数，即h（t）＝h（-t）。因此，零相位滤波器必定为物理不可实现的滤波器。

电滤波器是物理可实现的，绝不可能成为零相位滤波器。所以，电滤波器必定会使信号发生相位畸变，这正是它的缺点之一，而数字滤波可以实现零相滤波。

4.子波的相位延迟性质

信号处理中定义具有确定的起始时间和有限能量的信号为子波。一个稳定的滤波器的脉冲响应h（t）一般是一个具有确定的起始时间和有限能量的信号，亦可以看成为是一个子波。由此可见，子波的概念与滤波器的特性密切相关。有关子波性质的分析、分类方式等问题的讨论完全可以用于滤波器的脉冲响应上，反之亦然。

地震勘探领域中子波指的是通常由一个半到二个周期组成的地震脉冲。前已谈过，从广义上讲，任何一个过程均可以称为“滤波”。地震勘探中往往将地下非完全弹性介质对震源脉冲的改造作用称为“大地滤波”，大地滤波器的脉冲响应就称为“子波”或“地震子波”。

有关子波的性质中，最具重要意义的是其相位延迟性质。

在频率域中，子波 b（t）可以通过傅里叶变换表示成它的振幅谱|B（ω）|和相位谱φ（ω）。如果采用负的相位谱ψ（ω），则叫做相位延迟谱。即

地震波场与地震勘探

相位延迟谱的大小代表了子波的相位延迟性质。

子波的起始时刻通常是零时刻，即子波一般是物理可实现的。特别是地震子波，作为一个物理滤波器的响应函数，自然是物理可实现的。正如前述，物理可实现的子波必定是非零相子波，必有相位延迟，但不同子波的相位延迟不同。相位延迟性质对于具有相同振幅谱的子波的分类具有重要的意义。

图4-2-2 Z平面上零点位置指示子波延迟性质

在所有物理可实现的、具有相同振幅谱的子波中，总有一个子波的相位延迟谱相对于其他子波的相位延迟谱而言为最小，这个子波称为最小相位子波。同样，还有一个子波的相位延迟谱相对来说最大，称为最大相位子波。其他子波都是混合相位子波。

利用Z变换可以方便地判断子波的相位延迟性质。子波（b₀，b₁，…，b_n）的Z变换是一个多项式：B （Z）＝b₀＋b₁Z＋b₂Z²＋…＋B_nZⁿ。对此多项式求取全部零点（即根）。若全部零点均在单位圆外，则此子波为最小相位子波；若全部零点都在单位圆内，则是最大相位子波；如果零点在单位圆的内、外都有，则这个子波就是混合相位子波（图4-2-2）。