反函数的反函数的符号
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发布时间：2022-04-22 09:55
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热心网友
时间：2022-05-21 13:45
反函数的符号记为f -1(x)。
反函数符号是记录一个函数的反函数的符号，英文为inverse function，中文为反函数。函数 f 的反函数就念成 “ 函数 f 反函数 ”，念成其他都是不对的。
反函数的定义不算很明确，但是说到底就是把y=f(x)解出来，表示成x=g(y)，但是这个函数并不是f(x)的反函数，这个时候虽然表示形式不同，
但和y=f(x)实质上还是同一个函数，交换xy得到y=g(x)，这个函数才是f(x)的反函数。所以要求反函数就可以直接把xy交换，解出y=g(x)=f-1(x)就是反函数。
扩展资料：
定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
参考资料来源：百度百科-反函数
热心网友
时间：2022-05-21 13:46
反函数的符号记为f -1(x)，在中国的教材里，反三角函数记为arcsin，arccos等等，但是在欧美一些国家，sinx的反函数记为sin-1(x)。咋看咋感觉这记号大有来头，怎么就觉得和x这种记号有些关系呢？
事实上，这种想法是对的，数学里没有无缘无故的规定。x^-1表示1/x，那么f^-1(x)与这是否有些关系呢？下面举几个例子来说明这点。当然，f^-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是确实有与之很相近的性质。
1：反函数的反函数
为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f.对比，我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数，写成数学语言就是(f)=f,看看，这是不是有点像指数的运算法则：(x)=x呢？
2：反函数的导函数
这个应该就很像了。这也是高等数学的内容，中学同学就看不懂了，所以有些东西必须等到后面才能懂的。
(f(x))’=1/f'(y)
用自然语言来说就是，反函数的导数，等于原函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。
在这里要说明的是，y=x的反函数应该是x=y。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和原函数不互为倒数，但是其导函数却是互为倒数。
3：反函数的复合函数
话说这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说，肯定就是我们的恒等函数y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“1x”。
数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与x的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为f○g，那么下面的性质成立
f○f=1x
1x○f=f○1x=f
这第一个式子已经说明很多问题。实际上，这些都是属于高等代数的内容，在每一个封闭的系统里，都有一个“单位1”，都有自己的运算法则，函数里的就是1x，实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些，也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文，介绍函数的“幂”的概念，就如同数的幂一样。
