如何用尺规作图画角?
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发布时间：2022-04-23 02:18
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时间：2023-07-03 21:52
以下内容摘自《几何作图不能问题》这本书。
（1）有一个定理说，有理系数三次方程X^3+a*X^2+b*X+C=0 如果没有有理根，那么它的所有实根都不能尺规作图。………………………………………………记为“*”定理
例如三等分60°角问题，它的三分之一是20°，令x=cos20°，根据三角恒等式：
cos60°=4*(cos20°)^3-3*cos20°可得：1/2=4*x^3-3*x，或8*x^3-6*x-1=0，可以证明这个方程没有有理数根（或者直接求出三个根为：cos20°，-cos40°，-cos80°，均不是有理数根），因此它的所有三个实数根都不能尺规作图。既然 不能尺规作图，那三等分60°角也就不可能尺规作图。
（2）有时，对问题的一般情形进行讨论比较困难，此时如果取其一个特例进行考察，则简单得多，例如三等分任意角，可以取60°这个特例进行研究；再如那个什么“古堡”问题，李明波也是取了一个特例进行分析：特例既经证实不能作图，一般情形不能作图便是不言而喻了（但是反过来说则不对——特例能作图不等于任意情形都能作图）。
（3）有的作图问题，经过分析后能够归结为已知的其它作图不能问题，则可断定该问题也属于尺规作图不能问题。例如，既然cos20°不能作图表明了60°角不能三等分，则可推知“九等分圆”作图也是不可能的。
五、掀起 sin20°的“盖头”来，让我们看看你的“眉”
为什么sin20°不能尺规作图呢？
sin20°确实不能表示成几个有理数平方根的加减乘除及开平方的组合吗？
sin20°是代数方程 *X^6-96*X^4+36*X^2-3=0 的一个实数根，其表达式为：
sin20°=√{1/2-1/8*(1/2+i*√3/2)^(1/3)+i*√3/8*(1/2+i*√3/2)^(1/3)-1/4*(1/2+i*√3/2)^(2/3)}
其中虽然有复数，但“复数”表达式并不影响作图，只是上面这个式子不行，因为里面含有开立方，这就无法尺规作图了。
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