求曲线的凹凸区间及拐点

发布网友 发布时间：2022-04-20 15:37

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热心网友 时间：2023-07-18 09:24

一、（1）y'=4-2x，y''=4>0，因此函数在R上恒为下凸函数

（2）y'=arctanx+x/(1+x^2)，y''=1/(1+x^2) + [(1+x^2)-2x^2]/(1+x^2)^2

=2/(1+x^2)^2 > 0，因此函数在 R 上恒为下凸函数

二、（1）y'=3x^2-10x+3，y''=6x-10，令 y''>0 得 x>5/3，令 y''<0 得 x<5/3，

所以函数在（-∞，5/3）上为上凸函数，在（5/3，+∞）上为下凸函数，

拐点为（5/3，20/27）。

（2）y' = 2x/(x^2+1)，y '' = [2(x^2+1)-2x*2x]/(x^2+1)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2，

令 y ''>0 得 -1<x<1，令 y''<0 得 x<-1 或 x>1，

因此函数在（-∞，-1）上为上凸函数，在（-1，1）上为下凸函数，在（1，+∞）上为上凸函数，

拐点为（-1，ln2）和（1，ln2）。

例如：

y=x^4-6x²-5

y'=4x³-12x

y"=12x-12

=12(x-1)

y">0,x>1

凹区间：(1,+∞)

y"<0,x<1

凸区间：(-∞,1)

y"=0,x=1

y=1-6-5=-10

拐点：(1,-10)

y=2x/(1+x²)

y'=[2(1+x²)-2x(2x)]/(1+x²)²

=2(1-x²)/(1+x²)²

y"=2[(-2x)(1+x²)²-2(1-x²)(1+x²)(2x)]/(1+x²)^版4

=2[-2x-2x³-4x+4x³]/(1+x²)³

=4x(x²-3)/(1+x²)³

=4x(x+√权3)(x-√3)/(1+x²)³

y">0,-√3<x<0或x>√3

凹区间：(-√3,0)U(√3,+∞)

凸区间：(-∞,-√3)U(0,√3)

y"=0

x=-√3,y=-√3/2

x=0,y=0

x=√3,y=√3/2

拐点：(-√3,-√3/2),(0,0),(√3,√/2)

扩展资料：

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：

⑴求f''(x)；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查f''(x)在左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(,f())是拐点，当两侧的符号相同时，点(,f())不是拐点。

参考资料来源：百度百科-拐点

热心网友 时间：2023-07-18 09:25

先求出二阶导数y"，y"不存在或等于0的点就是拐点，y"＞0的区间是凹区间，＜0就是凸区间

热心网友 时间：2023-07-18 09:25

第四题给你解答了，第五题同理做