什么叫直积?什么叫笛卡尔乘积?
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发布时间：2022-04-22 00:01
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时间：2022-04-18 07:38
直积和笛卡尔乘积同义。
1、直积又叫笛卡尔(Descartes)乘积。
2、设( G1，* )、( G2，· )是两个群，有各自的乘法 *、· 和各自的单位元e、l，分别从G1和G2中任取一个元素组成所有可能的有序对，组成的集合记作G1×G2，在上面定义一个运算◎，对于G1×G2中任意两个元素(a1,B1)、(a2,B2)，规定(a1,B1) (a2,B2)=(a1 * a2,B1 · B2)，这叫做G1和G2的直积，记作{ G1×G2, ◎ }，单位元是(e,l)。
3、用两条直线来代替平面就是直和吧 不用知道平面中的每个向量 只要知道这两条直线中的各自的一个向量组成的向量对就行了，向量对就对应了平面中的向量 那两条直线都是向量空间 各自有自己的加法和数乘结构，从他们就可定义向量对的加法和数乘结构 那两条直线的直和就跟平面是同构的。
4、有限个空间做笛卡尔积集合，上面定义加法和数乘构成的向量空间叫直和空间。如果是无限个的话就称为直积空间，这时做笛卡尔积要用到选择公理。
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时间：2022-04-18 08:56
笛卡尔乘积
名称定义
假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。
笛卡儿积的运算性质
由于有序对
中x,y的位置是确定的，因此A×B的记法也是确定的，不能写成B×A.
笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An.
笛卡儿积的运算性质.
一般不能交换.
笛卡儿积，把集合A，B合成集合A×B，规定
A×B＝{
xÎAÙyÎB}
推导过程
给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di??Di，i＝1，2，…，n｝
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例
给出三个域：
D1=SUPERVISOR
={
张清玫，刘逸
}
D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏}
则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：
D=D1×D2×D3
＝
｛(张清玫，计算机专业，李勇)，(张清玫，计算机专业，刘晨)，
(张清玫，计算机专业，王敏)，(张清玫，信息专业，李勇)，
(张清玫，信息专业，刘晨)，(张清玫，信息专业，王敏)，
(刘逸，计算机专业，李勇)，(刘逸，计算机专业，刘晨)，
(刘逸，计算机专业，王敏)，(刘逸，信息专业，李勇)，
(刘逸，信息专业，刘晨)，(刘逸，信息专业，王敏)
｝
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。
序偶与笛卡尔积
在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。
设x，y为任意对象，称集合｛｛x｝,｛x,y｝｝为二元有序组，或序偶（ordered
pairs），简记为
。称x为
的第一分量，称y为第二分量。
定义3-4.1
对任意序偶
,
,
=
当且仅当a＝c且b
=
d
。
递归定义n元序组
=｛｛a1｝，｛a1
,
a2｝｝
=
｛
｛a1
,
a2｝,｛a1
,
a2
,
a3｝｝
=
<
,
a3
>
=
<
,
an>
两个n元序组相等
<
a1，…an
>=
<
b1，…bn
>Û(a1=b1)
∧
…∧
(an=bn)
定义3-4.2
对任意集合
A1，A2
,
…，An，
（1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积(Cartesian
proct)，定义为
A1
×A2=｛x
|
$u
$v(x
=
∧u
ÎA1∧vÎA2)｝=｛
|
u
ÎA1∧vÎA2｝
（2）递归地定义
A1
×
A2×
…
×
An
A1
×
A2×…
×
An=
(A1×
A2
×
…×
An-1)×An
例题1
若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç（B×A）。
解
A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<β，3〉}
B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}
A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}
B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}
（A×B）Ç（B×A）=Æ
由例题1可以看到（A×B）Ç（B×A）=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ，则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知：
（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}
={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}
A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}
由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以
（A×B）×C
≠A×（B×C）
定理3-4.1
设A,
B,
C为任意集合，*表示
È，Ç或
–
运算，那么有如下结论：
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即：
A×(B*C)＝(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即：
(B*C)
×A＝(B×A)*(C×A)
¤
当*表示
È时，结论（1）的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B
È
C)Í(A×B)
È
(A×C)
从
∈A×(BÈC)出发，推出
∈(A
×B)
È
(A×C)
再证明(A×B)
È
(A×C)
Í
A×(B
È
C)
从
∈(A×B)
È
(A×C)出发，推出
∈A×(BÈC)
当*表示
È时，结论（2）的证明思路:(谓词演算法)
见P-103页。¤
定理3-4.2
设A,
B,
C为任意集合，若C
≠
F，那么有如下结论：
AÍBÛ(A×C
ÍB×C)
Û
(C×AÍC×B)
¤
定理前半部分证明思路
:(谓词演算法)
先证明AÍB
Þ
(A×CÍB×C)
以AÍB
为条件，从
∈A×C出发，推出
∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C
ÍB×C)
Þ
AÍB
以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用Þ附加式，推出x∈B
得出(AÍB)结论。
见P-103页。
¤
定理3-4.3
设A,
B,
C,
D为任意四个非空集合，那么有如下结论：
A×B
Í
C×D的充分必要条件是AÍ
C，BÍ
D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性：
A×B
Í
C×D
Þ
AÍ
C，BÍ
D
对于任意的x∈A、y∈B，从
∈A×B出发，利用条件A×BÍ
C×D，
∈C×D，推出x∈C，
y∈D。
再证明必要性：
AÍ
C，BÍ
D
ÞA×BÍ
C×D
对于任意的x∈A、y∈B，从
∈A×B出发，推出
∈C×D。
笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。
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时间：2022-04-18 10:30
设A、B为集合，用A中的元素x作第一元素，B中的元素y作第二元素，构成有序对，所有这样的有序对组成的集合，叫做A和B的笛卡儿积，记做A×B。
