已知函数f(x)=x2-2lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求证:当x>2时...
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发布时间：2024-10-02 17:30
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时间：9分钟前
（Ⅰ）∵函数f（x）=x2-2lnx，
∴函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
f′(x)＝2x?2x=2(x+1)(x?1)x，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-3x+1=x2-2lnx-3x+4，
则g′(x)＝2x?2x?3=(2x+1)(x?2)x，
∵当x＞2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（2，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（2）=4-2ln2-6+4＞0，
∴当x＞2时，x2-2lnx＞3x-4，
即当x＞2时，f（x）＞3x-4．
