高二立体几何 P为△ABC外一点,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则...

发布网友 发布时间：2024-10-11 03:58

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热心网友 时间：2024-11-14 08:29

∵△APB、BPC、CPA都是直角边为1的等腰直角三角形，所以AB=BC=CA=√2，

△ABC是等边三角形。取AB的中点D，连接PD和CD，那么AB⊥PD，AB⊥CD，

则AB⊥平面PDC，平面ABC⊥平面PDC。

点P到平面ABC的距离PH必在平面PDC内，点H位于DC上，PH是△PDC的高。

∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB，PC⊥PD，△PDC是直角三角形。

在△PAB中，PD=√2/2，在△ABC中，CD=√2×√3/2=√6/2，

在△PDC中，PC=1，高PH=√2/2×1÷√6/2=1/√3=√3/3

热心网友 时间：2024-11-14 08:31

可以借助三棱锥体积求得P到平面ABC的距离。
∵PA、PB、PC两两垂直，
∴三棱锥的体积是1/3*(1/2*1*1)*1=1/6
设P到平面ABC的距离是h，
∵可证△ABC是等边三角形，且边长是√2
∴S△ABC=√3/4*(√2)²=√3/2
∴三棱锥体积为1/3*(√3/2)h
∴1/3*(√3/2)h=1/6
∴h=√3/3

热心网友 时间：2024-11-14 08:31

a/2 二分之一A

做P到底面的垂直线D，连接AD。做D到AB的垂直线E。
因为ABC为等边三角形，
所以ADE为三十度角的直角三角形，因为AB=a，所以AE=a/2，所以AD=2分之根号3a 。根据勾股定理，AP=a，AD=2分之根号3a，所以PD=a/2。即P到平面ABC的距离为PD的长度a/2。