勒贝格积分背景知识
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发布时间：2024-10-23 21:35
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时间：2024-10-27 01:02
勒贝格积分的兴起和实变函数论的建立，源于20世纪初集合论对积分学的革新。1854年，黎曼提出的黎曼积分在当时就已经展示了其重要性，但随着分析学的严格化，对于不连续和不可微的函数积分问题的关注日益增加。18年，波莱尔的测度论和1902年勒贝格的博士论文《积分，长度与面积》的发表，标志着实变函数论的诞生，使得一些在黎曼意义下不可积的函数在勒贝格积分下变得可积，从而确立了微积分基本定理的新框架，将分析学分为经典与现代两个阶段。
黎曼积分作为微积分的重要推广，是分析数学中不可或缺的工具。19世纪的微积分已经可以用来方便地计算曲边形面积等，然而面对更复杂的函数，如级数定义的函数或多元函数的一元化，积分与极限交换顺序的问题变得复杂。勒贝格于1902年提出的勒贝格积分理论，旨在解决这一问题，保持黎曼积分的直观性和计算有效性，同时改进积分与极限交换的条件。在此基础上，勒贝格-斯蒂尔杰斯积分进一步发展，而20世纪初的测度论则将理论拓展到更为一般集合的范畴。
扩展资料
将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。
