...且对于任意实数a,b∈R,满足:f(ab)=af(b)+bf(a),f(
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发布时间：2024-10-24 01:50
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时间：2024-10-25 19:33
（1）对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），
f（0×0）=2f（0），f（0）=0，
f（1×1）=2f（1），f（1）=0，
故①f（0）=f（1）正确；
（2）∵f[（-1）×（-1）]=-2f（-1），
f（1）=-2f（-1）=0，f（-1）=0
∴f（-x）=（-1）×f（x）+xf（-1）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，故②不正确；
（3）根据f（ab）=af（b）+bf（a），
得到：f（2）=2
f（22）=2?22，
f（23）=3×23，
f（24）=f（22×22）=4×24，
归纳得：f（2n）=n×2n，（n∈N*）．
∴an=f(2n)n=2n，
∴an+1an=2n+12n=2=常数（n∈N*）．
③数列{an}为等比数列正确；
∵bn=f(2n)2n=n2n2n=n，（n∈N*）．
bn+1-bn=n+1-n=1=常数，（n∈N*）．
∴④数列{bn}为等差数列正确；
所以①③④正确，
故选：C
