正四面体P-ABC中,PM=2MC AN=NB 求MN与AC所成角的余弦值
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设正四面体的棱长为18,连接CN,由正四面体的性质可知P在底面的射影是正三角形ABC的中心O
(1)由已知条件易证CN=9√3,CO=6√3,勾股定理得PO=6√6
设M在底面射影是H,则MH=PO/3=2√6,CH=CO/3=2√3
∴NH=7√3
勾股定理得MN=3√19,∴cos∠MNC=NH/MN=7√3/3√19
又cos∠ACN=cos30°=√3/2
设AC与MN所成角是α,那麼cosα=cos∠MNC*cos∠ACN=7/2√19=7√19/38
(2)∵AN⊥CN,AN⊥PN,∴AN⊥面PNC
PN=9√3,MN=3√19,PM=12,馀弦定理得cos∠MPN=1/√3
∴sin∠MPN=√2/√3,S△PMN=1/2*PN*PM*sin∠MPN=54√2
S△APM=1/2*PA*PM*sin∠APM=54√3
设N到面PAM距离为d,体积法得d=3√6
设MN与面PAC所成角为β,那麼sinβ=d/MN=√114/19
(3)取AC中点D,连接PD,BD,则PD⊥AC,BD⊥AC
∴∠PDB是二面角P-AC-B的平面角
PD=BD=9√3,PB=18,馀弦定理得cos∠PDB=1/3
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设正四面体的棱长为18,连接CN,由正四面体的性质可知P在底面的射影是正三角形ABC的中心O
(1)由已知条件易证CN=9√3,CO=6√3,勾股定理得PO=6√6
设M在底面射影是H,则MH=PO/3=2√6,CH=CO/3=2√3
∴NH=7√3
勾股定理得MN=3√19,∴cos∠MNC=NH/MN=7√3/3√19
又cos∠ACN=cos30°=√3/2
设AC与MN所成角是α,那麼cosα=cos∠MNC*cos∠ACN=7/2√19=7√19/38
(2)∵AN⊥CN,AN⊥PN,∴AN⊥面PNC
PN=9√3,MN=3√19,PM=12,馀弦定理得cos∠MPN=1/√3
∴sin∠MPN=√2/√3,S△PMN=1/2*PN*PM*sin∠MPN=54√2
S△APM=1/2*PA*PM*sin∠APM=54√3
设N到面PAM距离为d,体积法得d=3√6
设MN与面PAC所成角为β,那麼sinβ=d/MN=√114/19
(3)取AC中点D,连接PD,BD,则PD⊥AC,BD⊥AC
∴∠PDB是二面角P-AC-B的平面角
PD=BD=9√3,PB=18,馀弦定理得cos∠PDB=1/3
