如图,设p是圆o:x^2+y^2=2上的点,过p作直线l垂直x轴于点q的数学题目
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发布时间：2024-10-24 07:14
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时间：2024-10-28 00:02
（2014•福建模拟）如图，设P是圆O：x2+y2=2上的点，过P作直线l垂直x轴于点Q，M为l上一点，且
PQ
=
2
MQ
，当点P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上，使其一条直角边过点F（1，0），则三角板的另一条直角边所在直线与曲线Γ有且只有一个公共点．你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由．
（Ⅲ）设直线m是圆O所在平面内的一条直线，过点F（1，0）作直线m的垂线，垂足为T连接OT根据“线段OT长度”讨论“直线m与曲线Γ的公共点个数”．（直接写出结论，不必证明）
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设出动点M的坐标及P的坐标，结合
PQ
=
2
MQ
把P的坐标用M的坐标表示，然后把P的坐标代入圆O可得曲线Γ的方程；
（Ⅱ）把现实问题转化为数学问题，分直角三角板的顶点在x轴上，与F点的连线垂直于x轴以及NF的斜率存在且不等于0几种情况讨论，斜率存在时设出直线方程，和曲线Γ联立由判别式等于0说明结论正确；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中同学研究的结论可知，当|0T|＝
2
时，直线m与椭圆Γ有且只有一个公共点；由此推广得到，当|OT|＞
2
时，直线m与椭圆Γ没有公共点；当|OT|＜
2
时，直线m与椭圆Γ有两个公共点．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），P（xP，yP），
∵PQ垂直x轴于点Q，M为直线l上一点，且
PQ
=
2
MQ
，
∴xP=x，yP＝
2
y，
∵点P在圆O：x2+y2=2上，
∴xP2+yP2＝2，
即x2+(
2
y)2＝2，整理得
x2
2
+y2＝1．
故曲线Γ的方程为
x2
2
+y2＝1；
（Ⅱ）如图，
设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N（a，b）处，则a2+b2=2，
又设三角板的另一条直角边所在直线为l′．
（ⅰ）当a=1时，直线NF⊥x轴，l′：y=±1，
显然l′与曲线Γ有且只有一个公共点．
（ⅱ）当a≠1时，则kNF＝
b
a−1
．
若b=0时，则直线l′：x＝±
2
，显然l′与曲线有且只有一个公共点；
若b≠0时，则直线l′的斜率k＝
1−a
b
，
∴l′：y−b＝
1−a
b
(x−a)，即y＝
1−a
b
x+
2−a
b
，
由
x2
2
+y2＝1
y＝
1−a
b
x+
2−a
b
，得[b2+2（1-a）2]x2+4（1-a）（2-a）x+2[（2-a）2-b2]=0 （*）
又b2=2-a2，
∴方程（*）可化为（a-2）2x2+4（1-a）（2-a）x+4（a-1）2=0，
∴△=[4（1-a）（2-a）]2-16（a-2）2（a-1）2=0，
∴直线l′与曲线Γ有且只有一个公共点．
综上述，该同学的结论正确．
（Ⅲ）当|OT|＞
2
时，直线m与椭圆Γ没有公共点；
当|0T|＝
2
时，直线m与椭圆Γ有且只有一个公共点；
当|OT|＜
2
时，直线m与椭圆Γ有两个公共点
热心网友
时间：2024-10-28 00:10
X=q 且 q大于等于负根号2、小于等于根号2。
