已知函数f(x)=e x -ax-1(a为实数),g(x)=lnx-x.(1)讨论函数f(x)的单...
发布网友
发布时间：2024-10-24 13:08
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-09 03:42
由已知，得f′（x）=e x -a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，故函数f（x）在[lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna]上单调递减，
（2）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）= 1 x -1 当0＜x＜1，g′（x）＞0，当x＞1，g′（x）＜0，所以g（x）在x=1取得极大值g（1）=-1．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N + ，n≥2，∴lnn 2 ≤n 2 -1，得到 ln n 2 n 2 ≤ n 2 -1 n 2 = 1- 1 n 2
ln 2 2 2 2 + ln 3 2 3 2 +…+ ln n 2 n 2 ≤（ 1- 1 2 2 ）+（ 1- 1 3 2 ）+…（ 1- 1 n 2 ）=（n-1）-（ 1 2 2 + 1 3 2 +…+ 1 n 2 ）＜（n-1）-[ 1 2×3 + 1 3×4 + …+ 1 n×(n+1) ]
=（n-1）-（ 1 2 - 1 3 ）+ 1 3 - 1 4 + …+( 1 n - 1 n+1 ) ]=（n-1）- ( 1 2 - 1 n+1 ) = 2 n 2 -n-1 2(n+1)
即 ln 2 2 2 2 + ln 3 2 3 2 +…+ ln n 2 n 2 ＜ 2 n 2 -n-1 2(n+1)
