设f(x)在[0,a]连续(a>0),且f(0)=f(a),证明在(0,a)至少存在一个点m...
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发布时间：2024-10-24 12:29
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时间：2024-11-09 19:08
这是一维的 Borsuk-Ulam 定理
证明是最容易的一个维度, 作 g(t) = f(t) - f(t+a/2)
则 g(0) = f(0) - f(a/2), g(a/2) = f(a/2) - f(a) = f(a/2) - f(0) = - g(0)
这就有 g(0) g(a/2) <= 0
故由介值定理, 有 m \in [0,a/2] 使得 g(m) = 0, 即 f(m) = f(m+a/2).
一般的 Borsuk-Ulam 定理：设 S^n 为 n 维球面, f ：S^n → R^n 连续, 则必有 x \in S^n 满足, f(x)=f(-x).
推论 1 每一时刻, 地球表面一定有两个依赖于时刻选取的, 几乎处于对径位置的两个地方有相同的温度和湿度.
推论 2 篝火晚会的时候, 一定有坐在对径位置的两个人有相同的烤火温度.
一般情形的证明参见 Allen Hatcher, Algebraic Topology.
[注] f(0) = f(a) 就是在说 f 可以诱导一个周长为 a 的圆圈上的连续函数, 故你的问题其实是 1 维的 Borsuk-Ulam 定理, 推论 2 就是 1 维 Borsuk-Ulam 定理的推论.
