...n/(n+1) 为什么属于发散级数?小女子不胜感激!
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发布时间：2024-10-24 13:22
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时间：2024-11-13 19:00
∞ ∑ (-1)的n-1次方 n/(n+1)
=∞ ∑(-1)的n-1次方 （n+1）/(n+1) -∞ ∑ (-1)的n-1次方 1/(n+1)
=∞ ∑(-1)的n-1次方 -∞ ∑ (-1)的n-1次方 1/(n+1)
∞ ∑ (-1)的n-1次方 1/(n+1) 收敛于 1-ln2
而 ∞ ∑(-1)的n-1次方 则是发散的。
那么这个级数就是发散级数。
对于∞ ∑ (-1)的n-1次方 1/(n+1) 收敛于 1-ln2的证明方法如下：
设定义在(-1,1]上的函数f(x)=x-(1/2)*x^2+(1/3)*x^3-(1/4)*x^4+ …
两边对x求导得：f'(x)=1-x+x^2-x^3+ …
注意到当-1<x<1时，有f'(x)+x*f'(x)=1，所以有
f'(x)=1/(1+x),(-1<x<1)，且f(0)=0
解上述微分方程得：f(x)=ln(1+x),(-1<x<1)
易证f(1)所表示的无穷级数是收敛的，考虑到f(x)的连续性，有
f(1)=lim(x趋于1)(ln(1+x))=ln2
于是1/2-1/3+1/4-1/5+1/6-1/7.......=1-f(1)=1-ln2
