函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)(I)求函数f(x)的极值;(II)若a<0,对于任意x1...
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发布时间：2024-10-24 02:43
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时间：2024-11-04 22:35
（I）由题意，x＞0，f′（x）=1-ax．
若a≤0时，f′（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数f（x）不存在极值；
当a＞0时，∵x＞a时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；0＜x＜a时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数，
∴x=a时，函数f（x）有极小值f（a）=a-1-alna；
（II）当a＜0时，由（I）知函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y=1x在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x1≤x2≤1
则|f（x1）-f（x2）|=f（x2）-f（x1），
∴|f(x1)?f(x2)|＜4|1x1?1x2|，即f（x2）+4×1x2≤f（x1）+4×1x1
设h（x）=f（x）+4x=x-1-alnx+4x，
则|f(x1)?f(x2)|＜4|1x1?1x2|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
∵h'（x）=1-ax-4x2=x2?ax?4x2，∴x2-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-4x在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-4x在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-4x在（0，1]是增函数，∴y=x-4x的最大值为-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．
