如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21.动点P...
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发布时间：2024-10-24 02:28
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时间：2024-11-01 15:09
解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16-t，
∴S=12×12×（16-t）=96-6t（0≤t＜16）；
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，
解得t=72；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP2=（16-2t）2+122．
由BP2=BQ2得：（16-2t）2+122=（16-t）2
即3t2-32t+144=0．
由于△=-704＜0，
∴3t2-32t+144=0无解，
∴PB≠BQ．
③若PB=PQ．
由PB2=PQ2，得t2+122=（16-2t）2+122
整理，得3t2-t+256=0．
解得t1=163，t2=16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=72秒或t=163秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得APBQ=AOOB=12．
∵AP=2t-21，BQ=16-t，
∴2（2t-21）=16-t．
∴t=585．
过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=QEPE=12t=3029．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP=∠QPE，
∴tan∠BQP=3029；
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
∴DCBC=PEEQ，即1216=t12．
解得t=9．
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．
