y'+ysinx=sin^3x求微分方程的通解
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先求通解
y'+ysinx=0
y'/y=-sinxdx
lny=cosx+C1
y=Ce^cosx
运用常数变异法
y=C(x)e^cosx
y'=C'(x)e^cosx-C(x)e^cosx*sinx
代入原方程得
C'(x)e^cosx-C(x)e^cosx*sinx+C(x)e^cosx*sinx=sin^3x
C'(x)e^cosx=sin^3x
C'(x)=sin^3x*e^-cosx
C(x)=∫sin^3x*e^(-cosx)dx
=∫sin^2x*e^(-cosx)d(-cosx)
=∫sin^2xde^(-cosx)
=sin^2xe^(-cosx)-∫e^(-cosx)*2sinxcosxdx
=sin^2xe^(-cosx)+cosxde^(-cosx)
=sin^2xe^(-cosx)+2cosxe^(-cosx)+∫2e^(-cosx)d(-cosx)
=sin^2xe^(-cosx)+2cosxe^(-cosx)+2e^(-cosx)+C
所以方程的通解是
y=[sin^2xe^(-cosx)+2cosxe^(-cosx)+2e^(-cosx)+C]*e^cosx
=sin^2x+2cosx+2+Ce^cosx
